• Author / Uploaded
• ELIPDF

• Categories
• Ph
• Logaritmo
• Desintegración radioactiva
• Núcleo atómico
• Número Real

Citation preview

ALGEBRA y TRlGONOMETRIA

238

5.1

Funciones exponenciales

EXPONENTES IRRACIONALES En la sección 1.5 definimos b r para cualquier base positiva b y cualquier exponente racional r; por ejemplo:

Para cualquier número irracional r, b r puede definirse, pero una definición más precisa va más allá del alcance de este texto. Sin embargo, podemos insinuar un procedimiento posible para definir un número como 3Y2. Ya que

\12 = 1.414213562... los números racionales 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...

om

dan en orden sucesivo mejores aproximaciones a

\12.

Esto indica que los números

ic

a1

.c

3 1 , 31.4, 31.41, 31.414, 31.4142, 31.41421, •••

w w

w .M

at

em at

dan en orden sucesivo mejores aproximaciones al valor de 3Y2. De hecho esto puede demostrarse con una definición precisa de b r para un r irracional. Utilizando la tecla ~ de una calculadora.científica, encontramos que la aproximación con nueve cifras decimales para 3 Y2 es 4.728804386. Aceptaremos la siguiente fonnulación como un hecho: Para b > OYcualquier número real r. la expresión b r representa un único número real, además, las leyes de los exponentes son válidas para todos los exponentes reales.

FUNCION EXPONENCIAL Ahora podemos dar una definición de una función exponencial.

DEFINICION

1====================:::::::; Si b > O Y b "# 1, la funciÓn exponencial con base b es f(x)

tr

(1)

En la definición 1 la base b se limita a los números positivos así que Ir siempre será un número real. Con esta restricción una expresión como ( -4) 1/2 no es posible. Cuando b = 1, simplemente obtenemos la función constante f(x) ..::::;; 1" = 1.

1.

En los siguientes dos ejemplos graficamos las funciones exponenciales con bases 3 y respectivamente.

239

fuNCIONES EXPONENCIALES Y LOOARITMICAS

EJEMPLO 1 _________________ Grafique la función f(x = 3x

Solución. Primero obtenemos una tabla de valores para y = 3X • Como se indica en la figura 1, marcamos los puntos que se obtienen de la tabla y los unimos con una curva uniforme. Nótese que la gráfica de f(x) = ]X es una función creciente en el intervalo ( -:xl, (0).

x

f(x)

-3 -2

f.t

! i

-1 O 1

3

2

9

1

3'

x

1

.c o

m

FIGURA 1

a1

EJEMPLO 2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ __

at em

at

ic

(iY.

Grafique la función f(x)

w

w

.M

Solución. Obtenemos la gráfica de esta función marcando los puntos cuyas coordenadas se enumeran en la tabla anexa. Como se aprecia en la figura 2,f(x) = (iY es una función decreciente en el intervalo

w

(-00, (0).

y x

f(x)

-2

9 3 O 1 1 !

-1

2

3

! f.t

x FIGURA 2

ALGEBRA y TRlOONOMETRIA

240

Nótese que la gráfica de la funGiónf(x) = 3->< es exactamente la misma gráfica de la figura 2 ya que 3-x = (ir'. Como los dos ejemplos anteriores indican, la gráfica de una función exponencialj(x) = Ir puede tener dos formas, dependiendo de si O < b < l o b > 1. En la figura 3 vemos el bosquejo de las gráficas para cada uno de estos casos.

tr, O
l y decreciente si O < b < l. la función f es uno a uno.

w w

• • • • • •

em at

ic

a1

En los bocetos de la figura 3 observamos las siguientes propiedades de la función exponencial f con base b .

EJEMPLO 3 ________________ Una función comof(x) que

= 3x + 2 es un múltiplo constante de una función exponencial (1) ya

Además, en la sección 3.6 aprendimos que la gráfica def(x) = 3x + 2 es la gráfica de y trasladada dos unidades hacia la izquierda (véase figura 4).

=3

X

--------------------------------

OTROS EXPONENTES Como se indica en los siguientes dos ejemplos, cuando el exponente de la base b es una expresión algebraica que contiene x, la gráfica de la función no se parece a las que m~estra la figura 3.

FuNcIONES EXPONENCIALES y LOGARITMICAS

241

y

J
0 b

-/

DDI 1. 7"

'5 la alternativa que se discute enJa secclon . . -'4 Pnra encontrarla, utI zamo _ bY Esta fórmula define Ycorno una

Ya que la función exponencial y - b .hmCJ

.r

_.
.

.

o

~ W J""

v v """a ../../....--.

obtener x -

.

at

em at

es la inversa de la función exponencial con base b.

ic

f(x) = 10gb x

a1

.c

om

~4'/"Pú./~ b s YA'/'70,,-,,'"

w .M

Recordemos de la sección 3.7 que la gráfica de una función inversa puede obtenerse re-

w w

.o~.ant.ib /4plJe4 t/t! /4 mLlcióLl ongÚ/31eLl J¡¡ ffCf¡¡JI = J. liff¡¡ /á:.oJCJ' ~ gliJjZJ' ~JJlJ' figura 11 (a) para obtener la gráfica de y = 10gb x para b > 1. La gráfica de y 10gb x para O < b < 1 se muestra en la figura 11 (b). (a) b > 1

y

PROPIEDADES DE LA FUNCION LOGARITMICA

y = x, / /

Como se ve en la figura 11, la funci6n logarítmica!con base b tiene las siguientes propie-

/

dades: • • • • •

El dominio de! es el conjunto de los números reales positivos. El rango de! es el conjunto de los números reales. El intersecto en x para la gráfica de ! es 1. La gráfica de! no tiene intersecto en y. El eje y es una asíntota vertical de la gráfica de f. La función! es creciente en el intervalo (O, 00) si b > 1 Y decreciente en el intervalo (O, 00) si O < b < 1.

• La función! es uno a uno.

/

/ /

/

/

x

(b)

FIGURA 11

o
_ _ __

14. Sifes una función exponencial, entonces Xl

2~

g(x)

=

3-" Y h(x)

=

4"

22. fi5) 24. h(ft-l» 26. fig( -2»

En los' problemas 27 y 28 rederma el enunciado exponencial dado como un enunciado logarítmico equivalente. 27. 5- 1

0.2

28.

V5t2 = 8

268

ALGEBRA Y TRIGONOMETR lA

En los problemas 29 y 30 redefina el enunciado logarítmico dado como un enunciado exponencial equivalente.

29. log9 27

= 1.5

56. En la gráfica 20, llene los espacios en blanco para las coordenadas de los puntos en cada gráfica.

y

30. log6 (36)-1 = -2

y

En 'Ios problemas 31 y 32, escriba la expresión dada como un solo logaritmo. 31. 2 IOg3 8 + 3 log3 2 2 log3 6 log3 16 32. In (x + y) - In x In y + In (x - y) En Ilos problemas 33 al 36, encuentre el dominio de la función dada. 1

33. fix) = - 35. fix)

=

3X - 1 log2 Ix -

34. fix) ==

51

36. fix) = In (~ - 4)

En los problemas 37 y 38, grafique las funciones dadas en el mismo sistema de coordenadas.

37. Y Y

4',

38. y

10[4 x

y

(iY,

/

= IOgl/3 X

39. fix) 41. fix)

= log2 (~ + 1)

40. fix) 42. fix)

= 10gIQ (-x)

m

con un interés anual de 8% que se compone continuamente. ¿Cuál es el valor futuro en 5 años?, ¿cuánto tiempo se tardará en triplicar la suma inicial? 59. Si un terremoto tiene una magnitud de 4.2 en la escala Richter, ¿cuál es la magnitud en la escala Richter de un terremoto que tiene una intensidad 20 veces mayor? [Sugerencia: primero despeje la ecuación 10' = 20]. 60. La función

a1 ic at at em

.M

!

w

15) 49. logs (lOg3 2x) = O SO. 10glOo (In x) 51. 10glO x + 10gIQ (2x - 1) = 1 52. 4 log2 x logz (x + 2) = log2 ~ + logz 1 53. e- 4x = 15 54. In x = 0.2

-2Iog 22)

.c o

44. 16 2 - 5x = 2- 1 46. 6'" = 2'

w

2x

45. 7x + 3 = 5 47. log5 x -2 48. logz (x + 1) = logz (2x

'

57. Utilice una gráfica para resolver la desigualdad 10glO (x + 3) > O. 58. Una suma de US$IQ,OOQ se deposita en una cuenta de ahorros

2X - 2- X 2'>: + 2 x

En ·Ios problemas 43 al 54, resuelva la ecuación dada. 43. (1)-' = 9 1 -

y = log2 x

FIGURA 20

Enllos problemas 39 al 42, grafique la función dada. 1 2( -4 )X

/

x

"">( / / / "" /

w

SS. Aparee la letra de la gráfica de la figura 19 con la función apropiada. fix) b" b > 2 _ fix) = bX, l < b < 2 fix) = b', 1 < b < 1 __ fix) = b', 0< b < t _

y

representa el desplazamiento vertical en un tiempo t de una masa atada al extremo de una cuerda, cuando todo este sistema se sumerge en un líquido espeso. Sic[ = i, cz -2,ml = -1, Y m2 - 2 encuentre el valor de t para el que x(t) O. 61. El tritio, isótopo de hidrógeno, tiene una vida media de 12.5 años. ¿Cuánto quedará de la cantidad inicial después de 50 años? 62. La cantidad restante de una sustancia radiactiva después ~e t años es dada por A(t) = Aoe k1 , k > O. Demuestre que si A(tl) = Al YA(t2) = Az paratl < 12, entonces la vida media del elemento es tI) In 2 In (A¡jA 2 )

(12

63. Las sustancias radiactivas se retiran de las sustancias vivientes por medio de dos procesos: desintegración física natural y metabolismo biológico. Cada procesó contribuye a una vida media efectiva E definida por

~....... ..:::---...

-&----------+---------~-::~~

l/E

I/P + I/B

x

FIGURA 19

donde P es la vida media física de la sustancia radiactiva y B es la vida media biológica.

269

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOOARITMICAS

(a) Para el yodo radiactivo 1-131, en la glándula tiroidea humana, P = 8 días y B = 24 días. Encuentre la vida media efectiva del 1-131 en la tiroides. (b) Suponga que la cantidad de 1-131 en la tiroides después de t días se da por A(t) = A~. k> O. Utilice la vida media hallada en la parte (a) para de.terminar el porcentaje de yodo radiactivo que queda en la glándula tiroidea dos semanas después de su ingestión. 64. En el problema 62 de la sección 2. t, vemos un modelo lineal para el número de días D con capas de nieve en la Gran Bretaña, como función de elevación H. Otro modelo utiliza la función definida a trozos: D(JlII/300, { D(H) = 3.79Do[I

O ~ H ~ 400 m, + (H - 400)/310],

(a) Asuma .que Do

10. Grafique D(H) para O ,¡¡; H ,¡¡; t ,000. (b) Si Do 10, ¿a qué elevación este modelo predice 100 días con capa de nieve?, ¿y 365 días? 65. Una pensión anual es un plan de ahorros en el que la misma cantidad de dinero P se deposita en una cuenta en periodos iguales h (por ejemplo años). Si la tasa de interés anual r se compone continuamente, entonces la cantidad acumulada en la cuenta inmediatamente después del depósito n es

s

66. En el problema 58 del ejercicIo 5.1, vimos que la gráfica de y = ae- be -a es una curva Gompertz. Despeje x en términos de los otros símbolos.

at

em at

ic

a1

.c

om

donde Do es el número de días con capa de nieve al nivel del mar.

w .M

+ Pe' + Pe2r + ... + Pe(n-l)r

¿Cuál es el valor de dicha pensión en 15 años si P = US$3,ooo y la tasa de interés anual es de 7%?

H> 400 m,

w w

P