Análisis Complejo VIII.- Polinomios Ortogonales Héctor Pijeira Cabrera “· · · en la segunda mitad del siglo XIX, los p
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Análisis Complejo
VIII.- Polinomios Ortogonales Héctor Pijeira Cabrera
“· · · en la segunda mitad del siglo XIX, los polinomios atrajeron el interés como funciones de un tipo especial con excelentes propiedades analíticas. P. L. Chebyshev en 1853 pudo haber sido el primero en estudiar las propiedades extremas de los polinomios, más de treinta años antes de que K. Weierstrass en 1885 estableciera su famoso teorema de aproximación que subrayaba la importancia de los polinomios como objetos de análisis.”. Q. I. Rahman & G. Schmeisser (preface of “Analytic Theory of Polynomials”))
VIII.- Polinomios Ortogonales
[H. Pijeira, UC3M]
9.0.- Introducción
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El Análisis Matemático de fines del siglo 18 a mediados del 19
“El cálculo fue el primer logro de las matemáticas modernas. Creo que define más inequívocamente que cualquier otra cosa el inicio de las matemáticas modernas; y el sistema de análisis matemático, que es su desarrollo lógico, todavía constituye el mayor avance técnico en el pensamiento exacto.” John von Neumann (1903-1957) K. Ríbnikov, Historia de las Matemática, Ed. MIR, Moscú, 1987. (Pág. 270)
VIII.- Polinomios Ortogonales
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9.0.- Introducción
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Funciones especiales (40 principales en Mathematica)
VIII.- Polinomios Ortogonales
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9.0.- Introducción
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9.0.- Introducción
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Non-Standard Orthogonality, New Directions
VIII.- Polinomios Ortogonales
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Polinomios Ortogonales Período de la Teoría Clásica
VIII.- Polinomios Ortogonales
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9.0.- Introducción
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[H. Pijeira, UC3M]
9.0.- Introducción
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P.L Chebyshev & T.J. Stieltjes
VIII.- Polinomios Ortogonales
Polinomios Ortogonales - Período de la Teoría Estándar
VIII.- Polinomios Ortogonales
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9.0.- Introducción
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Análisis Complejo 8.1.-Polinomios ortogonales clásicos
VIII.- Polinomios Ortogonales
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9.1.- Polinomios ortogonales clásicos
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Classical Orthogonal Polynomials on the Real Line Let Qn be a monic polynomial of degree n, such that Z
Qn (x) xk dµ(x) = 0,
∀k = 0, 1, 2, · · · , n − 1
∆
Polynomials
Qn
Jacobi
Laguerre
Pn Cnα Pn Tn Un Lnα
[−1, 1] [−1, 1] [−1, 1] [−1, 1] [−1, 1] [0, ∞)
Hermite
Hn
R
α,β
Gegenbauer Legendre Chebyshev I Chebyshev II
dµ(x)
∆
(1 − x)α (1 + x)β dx, (1 − x2 )α dx, dx, − 21 2 (1 − x ) dx, 1 (1 − x2 ) 2 dx, xα e−x dx,
α, β > −1. α = β > −1. α = β = 0. α = β = − 12 . α = β = 12 . α > −1.
2
e−x dx .
G. Szeg˝o, Orthogonal Polynomials, Amer. Math. Soc., 1975. T. S. Chihara, An Introduction to Orthogonal Polynomials, Gordon and Breach, 1978. M. Ismail, Classical and quantum orthogonal polynomials in one variable, Cambridge Univ. Press, 2005.
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9.1.- Polinomios ortogonales clásicos
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Jacobi Polynomials on [−1, 1]
I Explicit formula:
Pα,β n (x)
1 = n 2
n
∑ k=0
n+α n+β 1 2n + α + β k n−k α,β (x − 1) (1 + x) , where κn = n is n−k k 2 n
the leading coefficient. I Orthogonality relations: if dµα,β (x) = (1 − x)α (1 + x)β dx, x ∈ [−1, 1], α > −1 and β > −1 . Z 1 2α+β +1 Γ(n + α + 1) Γ(n + β + 1) Pnα,β (x) Pα,β (x) dµ (x) = δn,m . α,β m n! (2n + α + β + 1) Γ(n + α + β + 1) −1 i 1 dn h α+n β +n I Rodrigues’ Formula: Pα,β (1 − x) (1 + x) . (x) = n (−2)n n! (1 − x)α (1 + x)β dxn I Differential Equation: I Derivative:
(x2 − 1) y00 (x) + [(2 + α + β )x + α − β ] y0 (x) − n [n + 1 + α − β ] y(x) = 0 . 0 1 α+1,β +1 Pα,β = (n + α + β + 1)Pn−1 (x). n (x) 2
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9.1.- Polinomios ortogonales clásicos
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Laguerre Polynomials on [0, ∞)
n
I Explicit formula:
Lnα (x) =
∑ k=0
n + α (−x)k (−1)n . where κnα = is the leading coefficient. n−k k! n!
I Orthogonality relations: Z ∞ 0
α Lnα (x) Lm (x) dµα (x) =
I Rodrigues’ Formula: I Differential Equation: I Derivative:
Γ(n + α + 1) δn,m . where dµα (x) = xα e−x dx , x ∈ R+ and α > −1 . n! Lnα (x) =
ex dn −x n+α e x . n! xα dxn
x y00 (x) + (α + 1 − x) y0 (x) + n y(x) = 0 . α+1 (Lnα (x))0 = −Ln−1 (x).
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Hermite polynomials on (−∞, ∞)
[ 2n ]
I Explicit formula: Hn (x) = n! ∑ k=0
(−1)k (2x)n−2k , where κn = 2n is the leading coefficient. (n − 2k)! k!
Z ∞
I Orthogonality relations: I Rodrigues’ Formula: I Differential Equation: I Derivative:
−∞
Hn (x) Hm (x) dµ(x) =
Hn (x) = (−1)n ex
2
√ n 2 π 2 n! δn,m where dµ(x) = e−x dx , x ∈ R.
dn h −x2 i e . dxn
y00 (x) − 2x y0 (x) + 2n y(x) = 0. (Hn (x))0 = 2n Hn−1 (x)
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9.1.- Polinomios ortogonales clásicos
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Resumen de propiedades diferenciales (clásicos)
I Son soluciones de una ecuación diferencial de segundo orden de la forma: α(x) y00 (x) + β (x) y0 (x) + γn y(x) = 0 , donde α(x) ∈ P con deg(α(x)) = 2 y β (x) ∈ P con deg(α(x)) = 1. El enésimo polinomio es solución de la ecuación con el correspondiente valor de γn . I Pueden ser generados mediante una fórmula que contiene derivadas de orden n, conocida como fórmula de Rodrigues. A saber, , 1 dn Pn (x) = [ω(x)ρ n (x)] , n κn ω(x) dx donde κn es independiente de x, ω(x) es no negativa e integrable en cierto intervalo de la recta real y ρ(x) ∈ P2 . Tanto κn , ω(x) como ρ(x) son fijos para cada familia. I La derivada de un polinomio ortogonal clásico es un polinomio ortogonal clásico de la misma familia, salvo un variación de los parámetros. VIII.- Polinomios Ortogonales
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9.1.- Polinomios ortogonales clásicos
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Análisis Complejo 8.2.- Ortogonalidad estándar
VIII.- Polinomios Ortogonales
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9.2.- Ortogonalidad estándar
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Definición finita de Borel, supp(µ) ⊂ E ⊂ R, µ ∈ M (E) Si E no acotado
hp, qi =
Z E
p(x) q(x) dµ(x), ∀ p, q ∈ P,
{pn (z)}∞ n=0 ⊥ µ ∈ M (E),
kpkL2 [µ] =
k
hpn , x i =
E
|p(x)|2 dµ(x), ∀ p ∈ P.
y
Z E
Z E
pn (x) pm (x) dµ(x)
pn (x) xk dµ(x) = 0,
{pn (z)}∞ n=0 ORTONORMAL respecto a µ:
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6= 0 =0
si si
n = m, n 6= m .
k = 0, 1, 2, · · · , n − 1 .
kpn kL2 [µ] = 1 y {pn (z)}∞ n=0 ⊥ µ ∈ M (E).
{Pn (z)}∞ n=0 ORTOGONAL MÓNICO respecto a µ: {Pn (z)}∞ n=0 ⊥ µ ∈ M (E). VIII.- Polinomios Ortogonales
rZ
si ∀ n ∈ Z+ deg(pn (z)) = n hpn , pm i =
o equivalentemente
supp(µ) con infinitos puntos. E cerrado. xn ∈ L1 [µ] , ∀n ∈ Z+ .
Pn (z) = zn + · · · y
9.2.- Ortogonalidad estándar
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Teorema de Existencia y Unicidad Para µ ∈ M (E) existe una única {pn (z)}∞ n=0 tal que: 1. pn (z) = γn zn + · · · , con γn > 0
( ∴ deg(pn ) = n). 0 si 2. hpn , pm i = pn (x) pm (x) dµ(x) = δn,m = 1 si E Z
n 6= m , n = m.
Demostración. Variante 1. Gram-Schmidt. p0 (z) = p
b 1 pn (z) , . . . , pn (z) = , . . . ; where kb pn kL2 [µ] µ(E)
n−1
b pn (z) = zn − ∑ an,k pk (z) and an,k = k=0
Z E
2
xn pk (x) dµ(x).
Variante 2. Sistema lineal de ecuaciones. pn (z) = γn,n zn + γn,n−1 zn−1 + . . . + γn,0 y µ0 µ1 ··· µn−1 µn γn,0 µ1 µ2 ··· µn µn+1 γn,1 = . . . . . .. .. . . . .. . . . . µn−1 µn−2 · · · µ2n−2 µ2n−1 γn,n
µk = 0 0 .. . 0
R
Ex
k dµ(x)
2
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9.2.- Ortogonalidad estándar
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Proposición 1. Norma cuadrática mínima. Sean Pn ⊥µ ∈ M (E) MÓNICO y Qn (z) cualquier polinomio mónico de grado n con coeficientes reales, entonces kQn kL2 (µ) ≥ kPn kL2 (µ) . La igualdad se cumple únicamente si Qn ≡ Pn . Demostración • Sea Qn (x) = xn + an−1 xn−1 + · · · + a0 , donde an−1 , an−2 , · · · , a0 ∈ R. • Es claro que Qn = Pn + Rn−1 donde Rn−1 es un polinomio de grado a lo sumo n − 1. • Por ortogonalidad se tiene que hQn , Qn i = hPn , Pn i + hRn−1 , Rn−1 i ≥ 0 , de donde se tiene la desigualdad. 2
• Obviamente, la igualdad se cumple si y solo si Rn−1 ≡ 0. Denotemos por Co(supp(µ)) al menor intervalo que contiene a supp(µ) (es decir la envoltura convexa del soporte).
Proposición 2. Ceros simples y localizados. Sea Pn ⊥µ ∈ M (E). Entonces Pn tiene n ceros simples en el interior de Co(supp(µ)). Demostración • Sean x1 , x2 , . . . , xm los ceros de Pn en el interior de Co(supp(µ)), donde Pn cambia de signo (multiplicidad impar). • Supongamos que m < n. • Por ortogonalidad • Pero
Z
m
∏(x − xi ) Pn (x) dµ(x) = 0 . E
i=1 m ∏i=1 (x − xi )Pn (x) no
cambia de signo en Co(supp(µ)) luego su integral debe ser distinta de cero. 2
• Esta contradicción indica que m = n. VIII.- Polinomios Ortogonales
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9.2.- Ortogonalidad estándar
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Fórmula de Cuadratura Numérica
Teorema. Fórmula de Cuadratura de Gauss-Jacobi Sean Pn ⊥µ ∈ M (E) y {xn,1 , xn,2 , · · · , xn,n } sus ceros. Entonces para todo Q2n−1 ∈ P2n−1 , se tiene que n
Z E
Q2n−1 (x)dµ(x) = ∑ λn,i Q2n−1 (xn,i ),
(1)
i=1
Z
los λn,i se llaman coeficientes de Christoffel y están dados por λn,i =
E
Pn (x) 0 Pn (xn,i ) (x − xn,i )
2 dµ(x) > 0 .
Enunciada para polinomios de Legendre por K.F. Gauss en 1816 y probada por Jacobi en 1859. La demostración general se debe a Stieltjes. S. Nikolsky, Fórmulas de cuadratura, Mir, Moscú, 1990. V. I. Krylov, Approximate Calculation of Integrals, Dover Pub., New York, 2005. VIII.- Polinomios Ortogonales
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9.2.- Ortogonalidad estándar
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Teorema. Fórmula de Cuadratura de Gauss-Jacobi Sean Pn ⊥µ ∈ M (E) y {xn,1 , xn,2 , · · · , xn,n } sus ceros. Entonces para todo Q2n−1 ∈ P2n−1 , se tiene que n
Z E
Q2n−1 (x)dµ(x) = ∑ λn,i Q2n−1 (xn,i ),
(2)
i=1
Z
los λn,i se llaman coeficientes de Christoffel y están dados por λn,i =
E
Pn (x) 0 Pn (xn,i ) (x − xn,i )
2 dµ(x) > 0 .
Demostración • Sea Ln−1 el polinomio de Lagrange que interpola a Q2n−1 (z) en los n ceros de Pn , es decir n Pn (z) Ln−1 (z) = ∑ Q2n−1 (xn,i ) 0 . Pn (xn,i )(z − xn,i ) i=1 • Entonces Q2n−1 (z) − Ln−1 (z) = Pn (z) qn−1 (z) , donde qn−1 es un polinomio de grado menor o igual a n − 1. • Por la ortogonalidad
Z E
• Luego
n
Z E
(Q2n−1 (x) − Ln−1 (x))dµ(x) =
Z E
Pn (x) qn−1 (x)dµ(x) = 0 .
n Pn (x) dµ(x) = ∑ λn,i Q2n−1 (xn,i ) . 0 E Pn (xn,i )(x − xn,i ) i=1 i=1 2 Pn (z) Q2n−1 (z) = se tiene la fórmula de λn,i . P0n (xn,i )(z − xn,i )
Z
Q2n−1 (x)dµ(x) = ∑ Q2n−1 (xn,i )
• Aplicando (2) a
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9.2.- Ortogonalidad estándar
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Análisis Complejo 8.3.- La Relación de Recurrencia a Tres Términos
VIII.- Polinomios Ortogonales
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9.3.- Relación de recurrencia a tres términos
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Relación de Recurrencia a Tres Términos (3TRR) Si Pn ⊥µ ∈ M (E) MÓNICO, entonces ∀n ≥ 1 se tiene que zPn (z) = Pn+1 (z) + βn Pn (z) + αn2 Pn−1 (z), donde
(3TRR-1)
γn−1 y βn = γn2 γn
P0 (z) = 1, P1 (z) = z − β0 , γn = kPn k−1 , αn = L2 [µ]
Z E
xP2n (x)dµ(x).
Demostración n
• Existen constantes c0 , c1 , · · · , cn tales que zPn (z) = Pn+1 (z) + ∑ ck Pk (z) . k=0
• Si j < n − 1, • Luego
deg(zPj (z)) ≤ n − 1 y ∴ 0 =
Z E
Z
xPn (x)Pj (x)dµ(x) = cj
zPn (z) = Pn+1 (z) + cn Pn (z) + cn−1 Pn−1 (z) .
• Multiplicando (F) por Pn (z) e integrando obtenemos
Z E
E
P2j (x)dµ(x) = cj γn−2 .
(F) xP2n (x)dµ(x) = cn kPn k2L2 [µ] = βn γn−2 .
• Multiplicando (F) por Pn−1 (z) e integramos obtenemos γn−2
Z
Z
= E
xPn (x)Pn−1 (x)dµ(x) = cn−1
E
−2 ⇒ cn−1 = αn2 . P2n−1 (x)dµ(x) = cn−1 γn−1
2
I 3TRR para polinomios ortonormales pn = γn Pn zpn (z) = αn+1 pn+1 (z) + βn pn (z) + αn pn−1 (z) , VIII.- Polinomios Ortogonales
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n ≥ 1.
(3TRR-2)
9.3.- Relación de recurrencia a tres términos
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The Moment Problem on a interval E ⊂ R Let {µn }∞ 0 by a sequence or real numbers. “The moment problem is a classical question in analysis, remarkable not only for its own elegance, but also for the extraordinary range of subjects, theoretical and applied, which it has illuminated” H. J. Landau
1.- Is there µ ∈ M (E) such that µn = 2.- µ ∈ M (E) is unique?
Z
xn dµ(x))?
Definite
E
Yes Not
Determined Indeterminate
3.- Characterize all µ ∈ M (E) with moments {µn }∞ 0
E=
[0, 1] [0, ∞[ ] − ∞, ∞[
Hausdorff moment problem Stieltjes moment problem Hamburger moment problem
MP1 H. J. Landau (Ed.), Moments in Mathematics, Proceedings of Symposia in Applied Mathematics, Vol. 37, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1987. MP2 J. A. Shohat and J. D. Tamarkin, The Problem of Moments, Mathematical Surveys, Vol. I, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1963. MP3 N. I. Akhiezer, The Classical Moment Problem and Some Related Questions in Analysis, Oliver and Boyd, Edinburgh, 1965. MP4 K. Schmüdgen, The Moment Problem, Graduate Texts in Mathematics Vol. 27, Springer, Cham, 2017. MP5 T.H. Kjeldsen, The early history of the moment problem, Historia Math., 20(1993), 19–44.
VIII.- Polinomios Ortogonales
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9.3.- Relación de recurrencia a tres términos
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Let {µn }∞ 0 a sequence of real numbers. I Problema de momentos de Hausdorff ([0, 1]) Definido si y solo si {µn }∞ 0 es completamente monótona. Determinado siempre. I Problema de momentos de Stieltjes ([0, ∞[) Definido si y solo si los de Hankel determinantes de las matrices (µi+j ))0≤i,j≤n−1 y (µi+j ))0≤i≤n−1,1≤j≤n son positivos. ∞
Determinado si
∑
1 − 2n
µn
= ∞.
n=1
I Problema de momentos de Hamburger (] − ∞, ∞[) a Definido si y solo si {µn }∞ 0 es definida positiva . ∞
Determinado si
∑
−
1
µ2n 2n = ∞ (Criterio de Carleman).
n=1
Note que se cumple si {µn }∞ 0 acotada. a momentos de todo polinomio no negativo Q(x), Q 6≡ 0 , son positivos.
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9.3.- Relación de recurrencia a tres términos
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El Teorema de Favard
Teorema de Favard-Stone-Shohat-Perron-Natanson Sea {Pn } la sucesión de polinomios ortogonales mónicos generada por la relación de recurrencia Pn+1 (z) = (z − βn )Pn (z) − αn Pn−1 (z);
P0 (z) = 1
y P−1 (z) = 0,
donde αn > 0 , βn ∈ R. Entonces existe una medida µ tal que {Pn (z)}⊥µ.
F1.- J. A. Favard, Sur les polynomes de Tchebicheff, C. R. Acad. Sci. Paris, 200 (1935), 2052–2053. F2.- M.H. Stone, Linear transformation in Hilbert space and their applications to analysis, Amer. Math. Soc. Colloq. Publ. 15, Providence, R.I., 1932. F3.- J. Shohat, Sur les polynômes orthogonaux généralises, C. R. Acad. Sci. Paris , 207 (1938) 556-558, F4.- O. Perron, Die Lehre von den Kettenbrüchen (The theory of continued fractions), 2nd Ed., Teubner, Leipzig, 1929. F5.- I.P. Natanson, Constructive Function Theory, Vol. II, Approximation in Mean, Frederick Ungar, NY, 1965.
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9.3.- Relación de recurrencia a tres términos
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Esquema de la demostración del Teorema de Favard I La sucesión de momentos y el funcional asociado µ0 = 1 µ1 = F (x − P1 (x)) .. .. .. . . .
Q(x) = κ0 Q(x) = κ1 x + κ0 .. .. .. . . .
µn = F (xn − Pn (x))
Q(x) =
F(Q(x)) = κ0 = κ0 µ0 F (Q(x)) = κ1 µ1 + κ0 µ0 .. .. .. . . .
n
∑ κk xk
n
F (Q(x)) =
k=0
∑ κk µk k=0
(1) I F xk Pn (x) = 0 para k = 0, 1, . . . , n − 1 y n = 0, 1, . . . . (por inducción en k ≤ n − 1) (2) I F P2n (x) = F (xn Pn (x)) > 0 n−1 n−2 F (x Pn (x)) = αn F x Pn−1 (x) = αn αn−1 F x Pn−2 (x) = · · · = n
n
∏ αk > 0.
k=1
I {µn } es definido positivo. a) De (2), ∀Q ∈ P, Q 6≡ 0 y entonces se tiene que F Q2 (x) > 0. b) Un polinomio en una variable con coeficientes reales es no negativo en Rsí y solo sí puede escribirse como la suma de los cuadrados de dos polinomios reales de una variable. I Existe una medida µ tal que Pn ⊥µ (Problema de Momentos de Hamburger). VIII.- Polinomios Ortogonales
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9.3.- Relación de recurrencia a tres términos
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Análisis Complejo 8.4.-Consecuencias de la fórmula de recurrencia
VIII.- Polinomios Ortogonales
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9.4.- Consecuencias de la fórmula de recurrencia
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La Fórmula de sumación de Christoffel-Darboux Sea µ ∈ M (E) y {pn }∞ n=0 la sucesión de polinomios ortonormales correspondientes. Entonces n
Kn (x, t) =
∑ pk (x)pk (t) = an+1 k=0
pn+1 (x)pn (t) − pn (x)pn+1 (t) . x−t
(3)
La expresión Kn (x, t) se llama Núcleo o Kernel de Christoffel-Darboux. La fórmula para los polinomios de Legendre fue publicada primeramente por Chebyshev en 1955 y después por E.B. Christoffel, el caso general se debe a G. Darboux.
Demostración • De la fórmula de recurrencia para polinomios ortonormales (3TRR-2) se tiene que: ak+1 pk+1 (x) pk (t) =(x − bk ) pk (x) pk (t) − ak pk−1 (x) pk (t) , ak+1 pk+1 (t) pk (x) =(t − bk ) pk (t) pk (x) − ak pk−1 (t) pk (x) . • Restando ambas expresiones y reordenando, obtenemos ak+1 (pk+1 (x)pk (t) − pk+1 (t)pk (x)) − ak (pk (x)pk−1 (t) − pk (t)pk−1 (x)) = (x − t)pk (x)pk (t) . • Sumando estas identidades desde k = 1 hasta n y agregando la identidad (x − t)p0 (x)p0 (t) = (µ(E))−2 (x − t) = a1 [p1 (x)p0 (t) − p1 (t)p0 (x)] , se obtiene (3).
2
Tomando límite en (3) cuando x → t se obtiene el siguiente resultado
Corolario. Forma confluente de la fórmula de sumación. n
Kn (t, t) =
Bajo las condiciones del teorema anterior se cumple que
∑ (pk (t))2 = an+1 (p0n+1 (t)pn (t) − p0n (t)pn+1 (t)) . k=0
VIII.- Polinomios Ortogonales
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9.4.- Consecuencias de la fórmula de recurrencia
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Núcleo de Christoffel-Darboux y series de Fourier ∞
Dada la función f , sea S(x) =
∑ hf , pk ipk (x) , la correspondiente serie de Fourier asociada al sistema ortonormal {pn }∞n=0 y k=0
Sn (x) su suma parcial enésima. n
n
Sn (x) = ∑ hf , pk ipk (x) = k=0
Z
∑ pk (x) k=0
Z
=
f (t)pk (t)dµ(t) = E
f (t)
E
Z
Kn (x, t)dµ(t) = E
n
#
∑ pk (x)pk (t)
dµ(t)
k=0
pn+1 (x)pn (t) − pn (x)pn+1 (t) dµ(t) . x−t
Z
Por la ortonormalidad del sistema, se tiene que
f (t) E
Z
f (t)Kn (x, t)dµ(t) = an+1 E
"
Z
[p0 (t)]2 dµ(t) = 1 .
E
f (x) − f (t) [pn+1 (x)pn (t) − pn (x)pn+1 (t)] dµ(t) . Por tanto x−t E Z Z f (x) − f (t) f (x) − f (t) |f (x) − Sn (x)| ≤|an+1 | |pn+1 (x)| pn (t)dµ(t) + |pn (x)| pn+1 (t)dµ(t) x−t x−t E E f (x) − f (t) f (x) − f (t) =|an+1 | |pn+1 (x)| , pn + |pn (x)| , pn+1 . x−t x−t
Entonces f (x) − Sn (x) = an+1
Z
Sea supp µ un compacto. Si para un cierto x se cumple que
f (x) − f (t) ∈ L2 [µ] , la sucesión de sus coeficientes de Fourier x−t
tiende a cero. En dicho caso la sucesión {|an+1 |} , n ∈ Z+ , está acotada. En efecto, aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwartz se obtiene rZ rZ Z 2 |an | = xpn (x)pn−1 (x)dµ(x) ≤ M pn (x)dµ(x) p2n−1 (x)dµ(x) ≤ M , E
E
E
donde M = m´ax |x|. Si µ es tal que {|pn (x)|} , n ∈ Z+ , está acotada en x, se deduce que Sn (x) ⇒ f (x) . x∈supp µ
VIII.- Polinomios Ortogonales
n→∞
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9.4.- Consecuencias de la fórmula de recurrencia
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Consecuencias de la 3TRR (continuación) Proposición 3. Dos polinomios ortogonales consecutivos, Pn+1 y Pn , no pueden tener ceros comunes. Demostración • Sea {Pn }∞ n=0 una sucesión de polinomios ortogonales mónicos y supongamos que existe z0 tal que Pn+1 (z0 ) = Pn (z0 ) = 0. De la (3TRR-1) se tiene que Pn−1 (z0 ) = 0. • Usando la fórmula de recurrencia repetidamente se llega a que P0 (z0 ) = 0, lo que es una contradicción.
2
Proposición 4. Entrelazamiento de ceros. Sean Pn y Pn+1 dos polinomios ortogonales consecutivos respecto a µ ∈ M (E), supongamos que sus correspondientes ceros están ordenados de forma tal que: xn,n < xn,n−1 < · · · < xn,1 y xn+1,n+1 < xn+1,n < · · · < xn+1,1 . Entonces xn+1,k+1 < xn,k < xn+1,k , n = 1, 2, . . . y k = 1, 2, . . . , n. Demostración
p0n+1 (t)pn (t) − p0n (t)pn+1 (t) > 0
⇒
−p0n (xn,k )pn+1 (xn,k ) > 0
−p0n (xn,k+1 )pn+1 (xn,k+1 ) > 0.
y
2
Proposición 5. Si supp µ es compacto, la sucesión
n
Pn+1 Pn
o
, n ∈ Z+ , está uniformemente acotada sobre subconjuntos compactos de
C \ Co(supp µ), es decir es normal . Demostración Sea K ⊂ C \ Co(supp µ) compacto, d =
|x − y| y D =
m´ın x∈Co(supp µ) y∈K
Pn+1 (z) = 0 < d ≤ Pn (z) VIII.- Polinomios Ortogonales
m´ax
S
|x − y| . Entonces
x,y∈Co(supp µ) K
,
n+1
n
∏ |z − xn+1,k | ∏ |z − xn,k | ≤ k=1
k=1
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D2 < +∞ , d
2
9.4.- Consecuencias de la fórmula de recurrencia
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Outer asymptotics for weights on [−1, 1]. √ I ϕ(z) = z + z2 − 1 for z ∈ C \ [−1, 1]. Z 1 log f (x) dx 1 √ I G[f (x)] = exp √ , the geometric mean of a nonnegative measurable function f on [−1, 1]. π −1 1 − x2 Z 1 π 1 + ze−it I D(f , z) = exp log f (t) dt , the Szeg˝o function. 4π −π 1 − ze−it dµ(x) measure of orthogonality
pn (z), z ∈ C \ [−1, 1] orthonormal
κn = kPn k−1 µ leading coefficient
p n
√ n κ → 2. n
Ullman (1972): K ⊂ supp[dµ] and Z
Z
1
dµ(x) = k
dµ(x) −1
implies Cap(K) =
pn (z) → ϕ(z).
1 2
Rahmanov (1977,1983): µ 0 > 0 a. e. in [−1, 1] Szeg˝o (1921): log µ 0 (x) √ dµ(x) > −∞. −1 1 − x2 and σ 0 (θ ) = | sin(θ )| µ 0 (θ ) Z
1
VIII.- Polinomios Ortogonales
pn (z) → ϕ(z). pn−1 (z)
κn−1 1 → . κn 2
pn (z) 1 →√ . ϕ n (z) 2π D(σ 0 , ϕ −1 (z))
κn 1 →p , 2n π G[µ 0 ]
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Polynomials of Second Kind associated with µ ∈ M (E)
Z
Hn (x) =
E
Pn (x) − Pn (t) dµ(t) , x−t
where Pn ⊥µ monic.
Properties. 1.-
n λn,i Hn (z) =∑ , where the coefficients λn,i are the Christoffel numbers. Pn (z) i=1 z − xn,i
Proof: The zeros of Pn are simples, hence bn,i = l´ım (z − xn,i ) z→xn,i
Hn (z) = l´ım Pn (z) z→xn,i
n bn,i Hn (z) ; =∑ Pn (z) i=1 z − xn,i
Pn (z) − Pn (t) dµ(t) Pn (z)−Pn (xn,i ) E (z − t) z−xn,i
Z
= λn,i .
2
2.- The n − 1 zeros of Hn are simples and are interlaced with the zeros of Pn . 2
Proof: Because λn,i > 0 and the Bolzano Theorem.
3.- The family of functions
Hn (z) Pn (z)
is normal on C \ supp µ.
Proof: Let K ⊂ C \ Co(supp µ) be a compact set (fixed), then we get n λ 1 n 1 n,i d = m´ın |x − y| . ∑ ≤ ∑ λn,i = µ(E) , x∈supp µ i=1 z − xn,i d i=1 d
2
y∈K
VIII.- Polinomios Ortogonales
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Análisis Complejo 8.5.-Polinomios ortogonales en el círculo unidad
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9.5.- Polinomios ortogonales en el círculo unidad
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Orthogonality on the Unit Circle
• Let Γ := [|z| = 1] and M (Γ) be the linear space of positive Borel measures on Γ, whose support contains an infinite number of points. • {ϕn (z)} orthonormal polynomial with respect to σ ∈ M (Γ) and positive leading coefficient. Z 1 0 si n 6= m , ϕn (z)ϕm (z)dσ (z) = δn,m = 1 si n = m . 2π Γ
• Let Pn be polynomial of degree n. The polynomial
P∗n (z) = zn Pn
1 1 n = z Pn is called the z z
reciprocal polynomial of Pn . • For |z| = 1 we have that z =
1 , hence P∗n (z) = zn Pn (z) = zn Pn (z) . z
• Except for a constant factor, ϕn is characterized by
Z
zν ϕn (z)dσ (z) = 0; ν = 0, 1, · · · , n − 1 .
Γ
• Then 0 =
Z Γ
1 1 ϕn ( )dσ (z) = ν z z
Z Γ
zν n 1 z ϕn ( )dσ (z) = n z z
• Therefore, except for a constant factor,
ϕn∗
Z
zn−ν ϕn∗ (z)dσ (z) , where ν = 0, . . . , n − 1 .
Γ
Z
is characterized by
zν ϕn∗ (z) dσ (z) = 0,
ν = 1, . . . , n .
Γ
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Classical Bessel Polynomials
Bessel Polynomials n (n + k)! x 2 yn (x) = ∑ . k=0 (n − k)!k! 2 Measure of Orthogonality yn ⊥ρ(x)dx where 2 n 1 ∞ Γ(2) ρ(x) = ∑ Γ(2 + n − 1) − x . 2πi n=0
Friedrich Bessel (1784-1846)
Rodrigues’ Formula 2n 2 e x dn x yn = n n . 2 2 dx e− x Differential Equation d2 y dy x2 2 + (2x + 2) = n(n + 1)y. dx dx
H. L. Krall and O. Fink, A New Class of Orthogonal Polynomials: The Bessel Polynomials, Trans. Amer. Math. Soc., 65 (1948), 100-115. E. Grosswald, Bessel Polynomials, Springer-Verlag, NY, 1978.
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Orthogonality on the Unit Circle Recurrence Relations I αn ϕn+1 (z) = αn+1 z ϕn (z) + ϕn+1 (0) ϕn∗ (z). ∗ I αn ϕn+1 (z) = αn+1 z ϕn∗ (z) + ϕn+1 (0) ϕn∗ (z). 2 I αn+1 − αn2 = |ϕn+1 (0)|2 .
• αn ϕn+1 (z) − αn+1 zϕn (z) is a polynomial of degree n. • For ν = 1, 2, . . . , n we get
Z
ν
z [αn ϕn+1 (z) − αn+1 zϕn (z)]dσ (z) = −αn+1
Γ
• Hence
Z
zν−1 ϕn (z)dσ (z) = 0 .
Γ
αn ϕn+1 (z) = αn+1 zϕn (z) + cn ϕn∗ (z) ,
where cn = ϕn+1 (0) .
2
Christoffel-Darboux Kernel ∗ (y) − ϕ ϕ ∗ (x)ϕn+1 ϕn∗ (x)ϕn∗ (y) − xyϕn (x)ϕn (y) n+1 (x)ϕn+1 (y) = n+1 . 1 − xy 1 − xy
n
Kn (x, y) =
∑ ϕk (x)ϕk (y) = k=0
Proposition {z ∈ C : ϕn (z) = 0} ⊂ {z ∈ C : |z| ≤ 1}. n
• If |z| < 1 then α02 ≤ Kn (z, z) =
∑ |ϕn (z)|2 = k=0
•
|ϕn∗ (z)|2
2
≥ (1 − |z|
)α02
> 0.
|ϕn∗ (z)|2 − |zϕn (z)|2 |ϕ ∗ (z)|2 ≤ n 2 . 2 1 − |z| 1 − |z|
{z ∈ C : ϕn∗ (z) = 0} ⊂ {z ∈ C : |z| ≥ 1}.
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Polynomials of Second Kind
b (z) = Iσ
1 2πc0
ξ +z dσ (ξ ) Γ ξ −z
Z
1 I ψn (z) = 2πc0
1 where c0 = 2π
Z
dσ (z) , σ ∈ M (Γ).
Γ
ξ +z [ϕn (ξ ) − ϕn (z)]dσ (ξ ) . Γ ξ −z
Z
Proposition Si |z| = 1 then 2 = 2c0 ℜ{ψn∗ (z)ϕn∗ (z)} . {z ∈ C : ϕn (z) = 0} ⊂ {z ∈ C : |z| < 1}.
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Orthogonality on the Unit Circle and on an Interval
I µ ∈ M ([−1, 1]). I
dσ (z) =
−dµ(cos θ ) dµ(cos θ )
, ,
0≤θ ≤π, π ≤ θ ≤ 2π ,
z = eiθ .
I Hence, if E is on the upper half-disc, then σ (E) = µ{x ∈ [−1, 1] ;
x = cos θ ;
z = eiθ ∈ E}
and in the lower half-disc σ is symmetric with respect to the upper half-disc. I pn orthonormal with respect to µ and ϕn orthonormal with respect to
σ . 2π
Proposition The coefficient of ϕn are real numbers. 1 1 1 − 21 −n ∗ z+ . pn (x) = √ [1 + Φ2n (0)] z [ϕ2n (z) + ϕ2n (z)] , where x = 2 z 2π
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[1] G. Szeg˝o, Orthogonal Polynomials, 4 th ed., Amer. Math. Soc. Colloq. Publ. Series, vol. 23, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1975. [2] T. S. Chihara, An Introduction to Orthogonal Polynomials, Gordon and Breach, 1978. [3] G. Freud, Orthogonal Polynomials, Pergamon Press, 1971. [4] Ya. L. Geronimus, Orthogonal Polynomials, Consultants Bureau, N. York, 1961. [5] G. López & H. Pijeira, Polinomios Ortogonales, IVIC, Caracas, 2001. [6] B. Simon, Orthogonal Polynomials on the Unit Circle. Vol. 1 and 2, Amer. Math. Soc. Colloq. Series, Providence, RI, 2005.
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9.6.- Bibliografía
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