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Unidad 4: Potencial Eléctrico 4.11. Cálculo del potencial conocida la distribución de cargas a. Potencial generado por una carga puntual Sea una partícula con carga positiva Q. Obtener el potencial eléctrico en un punto P del espacio, respecto del infinito. Se puede calcular el potencial de una carga puntual a partir del campo eléctrico que produce. Se sabe que el campo eléctrico generado por una partícula es:

G EP =

Q 4πε 0 r 2

rˆ

Considerando el origen en la carga Q Considere que una partícula móvil q0 viaja desde el infinito hasta un punto P, ubicado a la distancia r de Q, siguiendo una trayectoria que coincide con una línea de fuerza.

G G VP − V∞ = − ∫ E ⋅ dl P

∞

r

===Î

Vr − V∞ = − ∫

Q

4πε 0 r 2 ∞

rˆ ⋅ rˆdr

Integrando y evaluando se obtiene

Vr − V∞ =

Q 4πε 0 r

Convencionalmente se asigna 0 volts en el infinito.

Vr =

Q 4πε 0 r

+C

Observe que todos los puntos ubicados en una superficie esférica de radio r, tienen el mismo potencial, entonces el casco esférico de radio r es una superficie equipotencial. Si la carga Q es positiva, el potencial disminuye conforme aumenta r, en cambio si la carga es negativa, el potencial aumenta con r.

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b. Potencial generado por una distribución de cargas puntuales Sabemos que:

Q2 Q1

P G G VP − V∞ = − ∫ E ⋅ dl

G r2

∞

G

Q3

G r1

Donde E , es el campo eléctrico generado por las cuatro cargas puntuales.

Q4

G r3

P G G G G V P − V∞ = − ∫ (E1 + E 2 + ....E 4 ) ⋅ dl

G r4

∞

P

P P G G G G P G G V P − V∞ = − ∫ E1 ⋅ dl − ∫ E 2 ⋅ dl + ... − ∫ E 4 ⋅ dl

G r

∞

∞

∞

Cada término de la expresión anterior corresponde al potencial generado por una partícula como si las otras no existieran, ¡Principio de Superposición!

V P = V1P + V2 P + ....V4 P

VP =

1 4πε 0

N

Qi

i =1

iP

∑r

+C

Por lo tanto: Es el potencial generado en el punto P del espacio, por N cargas puntuales, donde riP es la distancia entre la carga Qi y el punto P. Ejemplo: Potencial generado por un dipolo Vamos a calcular el potencial eléctrico que produce un dipolo eléctrico en un punto del espacio. La distancia entre las cargas es 2a. Considerando el potencial 0 en el infinito, se tiene:

V = V1 + V2 V=

1 ⎧q q ⎫ ⎨ − ⎬ 4πε 0 ⎩ r1 r2 ⎭

Para puntos muy alejados del dipolo, tales que r>>2a, se pueden hacer las siguientes aproximaciones: r2 − r1 ≅ 2 a cos α

r1r2 ≅ r 2 Teniendo en cuenta estas dos aproximaciones, podemos escribir:

V=

2 a cos α 4πε o r2 q

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Recordando la definición de momento dipolar eléctrico:

V=

p = 2aq

P cos α 4πε o r 2 1

Observe que el potencial V = 0 si α = 90°, es decir no se requiere trabajo para llevar una carga de prueba desde el infinito hasta el punto medio entre las dos cargas del dipolo. Note que el potencial es negativo en la región mas cerca de la carga negativa del dipolo, pero siempre el potencial aumenta en sentido opuesto al campo eléctrico. c. Potencial generado por una distribución de cargas continúas Objeto, con densidad de carga ρ

Posición del segmento cargado

G r′ G r

P

Posición del punto donde se mide el potencial

Sea dVP el potencial generado en el punto P del espacio, por el segmento con carga dq del objeto , el segmento se comporta como carga puntual entonces: dq 1

dVP =

+C 4πε 0 rG − rG '

Recordemos que dVP es el trabajo por unidad de carga realizado para trasladar una carga de prueba desde el infinito hasta el punto P, como si existiera solo la carga dq. Ejemplo: Cálculo del potencial generado por un aro.

Sea un aro de radio a, ubicado en el plano x=0, el aro tiene densidad de carga constante λ. Obtener el potencial en el punto P ubicado el eje axial del aro. ¾

Sea dl, un segmento infinitesimal del aro, el cual tiene carga dq, donde:

¾

dq = λdl dq = λadθ

¾

La distancia entre dq y P, para todo dq

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¾

es: x + a Se reemplaza en la expresión para dVP:

¾

dVP =

¾

Se integra respecto de θ , y se evalúa entre 0 y 2π, obteniéndose:

¾

VP =

¾

Si V en el infinito es cero entonces C=0.

2

2

1

λa

4πε 0

x + a2 2

λa 4πε 0 x 2 + a 2

dθ + C

2π

∫ dθ + C ===Î V

P

=

0

λa 2ε 0 x 2 + a 2

+C

d.- Síntesis de cálculo de potencial

Existen dos métodos para calcular el potencial eléctrico asociado a una distribución de cargas: Conocido el campo eléctrico creado por la distribución (lo cual generalmente ocurre en distribuciones de carga con simetría en la que el campo eléctrico se puede calcular mediante Gauss), En este caso debemos tomar como origen de potenciales un punto de referencia arbitrario. B G G VB − VA = − ∫ E ⋅ dr A

Para el caso de distribuciones finitas de carga, para las cuales podemos suponer que V( ∞ )=0. En este caso

V = ∫ dV =

1

4πε o G G Donde r = r − r ′

∫

dq r

4.12.- Ejercicios de cálculo de potencial conocida la distribución de cargas.

2.

En el rectángulo mostrado en la figura la lados tienen una longitud de 5 cm y 15 cm. q1 = -5.0 y q2 = +2.0µC (a) ¿Cuales son los potenciales eléctricos en la esquina B y en la esquina A? (b) ¿Cuánto trabajo externo se requiere para mover a una tercera carga q3 = + 3.0 µC desde B hasta A a lo largo de una diagonal del rectángulo? (c) En este proceso, ¿se convierte el trabajo externo en energía potencial electrostática o viceversa? Explique.

3.

Una carga puntual tiene q = 1.16 µC. Considérese el punto A, que está a 2.06 m de distancia, y el punto B, que está a 1.17 m de distancia en dirección diametralmente opuesta, como en la figura (a). Halle la diferencia de potencial V A − V B . Repita si los puntos A y B se localizan como en la figura (b).

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4.

Dos cargas q= +2.13 µC están fijas en el espacio separadas por una distancia d= 1.96 cm, como se muestra en la figura. A) ¿Cuál es el potencial eléctrico en el punto C? B) Luego se lleva a una tercera carga Q = +1.91 µC lentamente desde el infinito hasta C: ¿Cuánto trabajo debe realizarse? C)¿Cuál es la energía potencial U de la configuración cuando la tercera carga está en su lugar?

5.

Un sistema está compuesto por tres partículas, q1 de 2 µC está ubicado en (0,0,2) m; q2 de –2µC está ubicado en (1,2,0) m y q3 de 3µC se ubica en (2,0,0) m. ¿Cuánto es el potencial eléctrico generado por la distribución de cargas en el origen del sistema de referencia?

6.

Una carga eléctrica de –9.12 nC está distribuida uniformemente alrededor de un anillo de 1.48 m de radio que se encuentra en el plano yz con su centro en el origen. Una partícula que tiene una carga de –5.93 pC está ubicada sobre el eje x en x = 3.07m. Calcule el trabajo realizado por un agente externo para mover la carga puntual hasta el origen. Una carga por unidad de longitud λ está distribuida uniformemente a lo largo de un segmento de línea recta de longitud L.

7.

(a)Determine el potencial (eligiendo que sea cero en el infinito) en un punto P a una distancia y de un extremo del segmento cargado y en línea con él. (Véase en la figura). (b)Use el resultado de (a) para calcular la componente del campo eléctrico en P en la dirección y (a lo largo de la línea) (c) Determine la componente del campo eléctrico en P en una dirección perpendicular a la línea recta. 8.

Hay una distribución uniforme de cargas de –7.0x10-8 C/m en un semicírculo de 2.0 cm de radio. ¿Cuánto es el potencial eléctrico en el centro de curvatura del semicírculo?

9.

El potencial a una cierta distancia de una carga puntual es de 600 (V) y el campo eléctrico es de 200 N/C. a. ¿Cuál es la distancia a la carga puntual? b. ¿Cuánta es la carga eléctrica que genera el campo?

10. Sean λ y -λ, dos varillas rectas de longitud L, con densidad de carga uniforme, separadas una distancia d. Obtenga la diferencia de potencial entre los puntos A (d/4,0,0) y B (3d/4,0,0). El eje X divide a las varillas en partes iguales.

x

−λ

+λ

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11. Con un alambre con densidad de carga λ se forma un cuadrado de lado L. c. Obtenga el potencial eléctrico en puntos situados sobre la perpendicular al cuadrado por su centro. d. De la expresión anterior, obtenga el campo eléctrico. 12. El mayor campo eléctrico que puede soportar el aire sin que salte chispa es de 3x106 V/m. ¿Cuál es el mínimo de radio de una esfera que puede estar en el aire cargada a 1x106 (V)? 13. Una barra de longitud L, este a lo largo del eje X, con su extremo izquierdo en el origen y tiene una densidad de carga no uniforme λ=αx, donde α es positiva. e. ¿Cuáles son las unidades de α? f. Obtenga el potencial eléctrico en el punto A, ubicado en (-d,0,0) g. Obtenga potencial eléctrico en el punto B, ubicado en (L/2, b,0)

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