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ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA

CAPÍTULO 7. DESIGUALDADES EN EL TRIÁNGULO

Introducción Avanzando sobre las propiedades que rodean al triángulo, se han destacado hasta el momento

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las que se derivan fundamentalmente de la congruencia. Ahora se pasa a revisar todas las

propiedades que tienen que ver con las relaciones de desigualdad entre sus elementos, bien en

un mismo triángulo, bien en triángulos diferentes. Debo agregar que el estudiante puede percibir un grado de dificultad mayor a aquel que se maneja en los conceptos de congruencia, pero esta situación es normal puesto que nuestras estructuras mentales están mejor adaptadas para percibir con mayor facilidad las primeras.

Objetivos Específicos.

1. Presentar los resultados que se verifican, para

un mismo triángulo en las

relaciones métricas de desigualdad entre ángulos y lados y sus recíprocos. Mostrar con contraejemplos que estás relaciones solo pueden cumplirse en un mismo triángulo a diferencia de aquellas (teorema de la bisagra y su recíproco) que se verifican en triángulos distintos.

2. Destacar la importancia del teorema de la desigualdad triangular y su aplicación en las condiciones métricas de construcción de triángulos.

3. Mostrar en los ejercicios propuestos, aplicaciones concretas de este tema en la determinación de rutas mínimas.

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA

7.1 RELACIONES LADOS VERSUS ÁNGULOS EN UN MISMO TRIÁNGULO

TEOREMA 43. Si dos lados de un triángulo no son congruentes, entonces los ángulos opuestos a estos

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lados no son congruentes y el ángulo mayor es el opuesto al lado mayor.

Figura 114.

   

Hipótesis: AB  BC , m AB  m BC . Tesis: Aˆ  Cˆ , 𝐴̂ < 𝐶̂ . Demostración.

Razonemos por reducción al absurdo.



Supongamos que Aˆ  Cˆ , entonces el triángulo A B C es isósceles y por tanto AB  BC . Absurdo. Luego Aˆ  Cˆ .

   

Como m AB  m BC , existe D entre B y C tal que BD  AB (Figura 115).

Figura 115.

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA

Por tanto

ABD es isósceles y

ˆ D  BD ˆ A esto es    . BA 

Como el ángulo es exterior al triángulo A D C ,

   , luego    .

Ahora, como D está entre B y C, entonces AD está en el interior del ángulo y T.B.T.. Luego

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   y en consecuencia    .

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7.2 RELACIONES ÁNGULOS VERSUS LADOS EN UN MISMO TRIÁNGULO TEOREMA 44. Si dos ángulos de un triángulo no son congruentes, entonces los lados opuestos a ellos

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no son congruentes y el lado mayor es el opuesto al ángulo mayor.

   



De otro modo: En cualquier triángulo A B C , si    entonces: m AB  m AC . (Figura 116).

Demostración.

Razonemos por reducción al absurdo.

   

   

Sea    y supongamos que m AB  m AC . Si m AB  m AC

entonces el triángulo

ABC es isósceles y por tanto    . ¡Absurdo!.

Figura 116.

    Luego, mAB   mAC  .

Si m AB  m AC entonces, por el teorema anterior,    . ¡Absurdo!.

Observación.

Los teoremas 43 y 44 nos dicen que en un mismo triángulo a mayor lado se opone mayor ángulo y viceversa.

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7.3 RELACIONES PERPENDICULAR VERSUS OBLICUAS Definición 32: Rectas Oblicuas. Se designan en esta forma a dos rectas distintas que se intersectan sin formar ángulos rectos.

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TEOREMA 45.

Si desde un punto exterior a una recta se trazan un segmento perpendicular y dos segmentos oblicuos, entonces: i).

El segmento perpendicular es el de menor longitud.

ii).

De los segmentos oblicuos es mayor el que se aparta más del pie de la perpendicular.

iii).

Si los dos segmentos oblicuos no tienen la misma longitud, el de mayor longitud se aparta más del pie de la perpendicular.

Demostración. i).

Sea Q el pie de la perpendicular desde el punto P a la recta L, y sea R cualquier otro punto de L. Veamos que:

 

m PQ  mPR  .

Figura 117.

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA

En efecto, sea S un punto de L, tal que Q esté entre S y R. Entonces 

triángulo P Q R , luego

PQˆ S es exterior a el

   . Como    , entonces    y por el teorema 44,

   

m PR  m PQ .

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Los numerales ii) y iii) se dejan al lector. Observaciones.

El teorema anterior nos permite afirmar que la distancia de un punto a una recta es el segmento de menor medida que se puede trazar entre el punto y la recta.

Análogamente queda demostrado que en todo triángulo rectángulo, la hipotenusa es mayor que cada uno de los catetos ¿por qué?

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7.4 TEOREMA DE LA DESIGUALDAD TRIÁNGULAR

TEOREMA 46. (Desigualdad Triangular). La suma de las longitudes de dos lados cualesquiera de un triángulo es mayor que la longitud del tercer lado.

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Demostración. Sea ABC

Figura 118.

Tomemos un punto D sobre la recta BC , tal que B esté entre D y C y DB  AB .

     

     

Como m DC  m DB  m BC entonces, m DC  m AB  m BC

(1).

Además,    (2) ya que B está en el interior de DAˆ C .

Como DAB es isósceles, por (2) y (3)

    (4)

m AC  m DC



   y, en consecuencia en A D C ,

(Teorema 44).

De (1 ) y (4) se deduce que:

AC  AB  BC .

COROLARIO 1. La longitud de un lado cualquiera de un triángulo es mayor que la diferencia de las longitudes de los otros dos lados.

     

   

En efecto, como m AC  m AB  m BC entonces, mBC   m AC  m AB .

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Figura 119.

COROLARIO 2.



Sea M un punto interior del triángulo A B C . Entonces,

       

m AM  m MC  m AB  m BC .

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7.5 TEOREMA DE LA BISAGRA (CHARNELA)

TEOREMA 47. Si dos lados de un triángulo son congruentes respectivamente con dos lados de un segundo triángulo, y el ángulo comprendido en el primer triángulo es mayor que el ángulo comprendido en el segundo, entonces el lado opuesto del primer triángulo es

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mayor que el lado opuesto del segundo.

Figura 120.

Hipótesis:

   

AB  DE .

Tesis: m BC  m EF .

AC  DF .

  .

Demostración.

Como    existe un punto Q interior a ˆ tal que CAˆ Q  EDˆ F . (Ver Figura 121).

Figura 121.

Sobre AQ tomemos un punto K tal que AK  DE . 



El triángulo A K C  D E F (L-A-L)

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA

Por tanto: CK  EF .

(1).

Tracemos la bisectriz de BAˆ K , sea M el punto donde la bisectriz corta al lado BC . Ya que 



AB  DE y AK  DE , entonces AB  AK . Luego, A B M  A K M (L-A-L) y en

consecuencia, BM  MK (2).

      De (1) y (2) mEF   mBM   mMC  . Pero, mBM   mMC   mBC  , entonces:

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En el triángulo CKM , m CK  m MK  m MC . (Teorema 46).

 

m EF  mBC  .

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7.6 TEOREMA DUAL DE LA BISAGRA

TEOREMA 48. Si dos lados de un triángulo son congruentes respectivamente con dos lados de un segundo triángulo, y el tercer lado del primer triángulo es mayor que el tercer lado del segundo triángulo, entonces el ángulo comprendido en el primer triángulo es mayor

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que el ángulo comprendido en el segundo.

Tesis:   

Hipótesis: AC  DF

AB  DE

   

m BC  m EF

Figura 122.

Demostración.

Razonemos por reducción al absurdo. Supongamos que    . 



Si    entonces A B C  D E F (L-A-L) y en consecuencia BC  EF . ¡Absurdo!.

   

Si,    entonces m BC  m EF . ¡Absurdo!.

 

Luego, m BC > mEF  .

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7.7 EJERCICIOS PROPUESTOS Temas:

Desigualdades en el triángulo.

1. Determinar cuáles de las afirmaciones siguientes son verdaderas y cuáles son falsas. 1.1 En todo triángulo el valor de cualquier ángulo es menor que la suma de los otros dos.

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1.2 En todo triángulo la medida de un lado es mayor que la diferencia de las medidas de los otros dos lados.

1.3 Si un triángulo tiene dos lados no congruentes entonces no puede ser isósceles.

1.4 Dados: ABC y A' B' C' .

i.

Si    y    entonces BC  AC .

ii.

Si      entonces AB  AC y AB  BC .

iii.

Si AC  AB y AB  BC entonces ˆ  ˆ .

iv.

Si    ' entonces BC  B'C ' .

v.

Si ˆ  ˆ ' y ˆ  ˆ ' entonces    ' .

vi.

Si AB  A' B' y BC  B'C' y A' C'  AC entonces  '  .

vii.

Si AB  A' B' y ˆ  ˆ ' , entonces,    ' .

viii.

Si AB  BC  A' B'B' C' entonces AC  A'C' .

ix.

Si      ' ' entonces    ' .

x.

Si AB  A' B' y AC  A'C' entonces BC  B'C' .

2. En la figura se tiene: i.

P  Int ABC  .

ii.

AP  AB .

iii.

HB  AH .

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Bajo la hipótesis anterior, indicar para cada una de las afirmaciones siguientes si es verdadera, falsa o no es posible afirmar nada por falta de información. 2.6 AC  CB  AP  PB .

2.2 PAˆ B  APˆ B .

2.7 CBˆ A  CAˆ B .

2.3 AP  PB .

2.8 APˆ B  ABˆ P .

2.4 AC  AB .

2.9 CBˆ A  PAˆ B .

2.5 APˆ B  Cˆ .

2.10 PH  AH .

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2.1 AB  PB .

3. Demostrar:

3.1 Si un punto no pertenece a la mediatriz de un segmento, dicho punto no equidista de los extremos del segmento.

3.2 Si un punto no equidista de los extremos de un segmento, dicho punto no pertenece a la mediatriz del segmento.

3.3 Si un punto interior a un ángulo no pertenece a la bisectriz del ángulo, dicho punto no equidista de los lados del ángulo.

3.4 Reciproco del literal anterior.

4. En un triángulo ABC , AM es la mediana asociada a BC y AH es la altura correspondiente a BC . Si C está entre M y H demostrar que: 4.1 AM  AB .

4.3 AB  AC .

4.2 AM  AC

4.4 m AMˆ B  m AMˆ C



 



5. En un triángulo ABC, las bisectrices de Bˆ y Cˆ se cortan en D; AD  AC y DH  BC Demostrar:

5.1 BD  CD .

5.2 BH  CH .

6. En la figura se tiene que: A, B, C son colineales AB  BD  CD . Demostrar. 6.1 ABˆ D  ADˆ B . 6.2 AD  DC . 6.3 AD  BC .

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7. Demostrar que la altura asociada a la hipotenusa en un triángulo rectángulo es menor que la hipotenusa.

8. En la figura se tiene que: D está entre A y C, AD  DB ; AB  AD . Demostrar que: ABC es escaleno.

9. En la figura se tiene que: D está entre A y B, F está entre A y C, CD  BF  0 . AB  AC , BD  FC . Demostrar que:

9.1 BF  CD .





9.2 m DOˆ F       3

10. Demostrar que la suma de las medidas de las alturas de un triángulo está comprendida entre el semiperímetro y el perímetro del triángulo.

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11. Demostrar que la suma de las medidas de las medianas de un triángulo está comprendida en el semiperímetro y el perímetro del triángulo. 12. Sean: A  B . Determinar un punto P, P  l ; tal que AP  PB sea mínima. Demuestre

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que P es único.

13. Sean: A, B puntos interiores de XOˆ Y . Localizar los puntos P y Q sobre OX y OY respectivamente de tal manera que AP  PQ  QB sea mínima.

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7.8 EJERCICIOS RESUELTOS Ilustración N° 1 Demuestre que en un triángulo rectángulo, la altura asociada a la hipotenusa es menor que la hipotenusa.

∆𝐴𝐵𝐶

ii.

BAC recto.

iii.

̅̅̅̅𝐵𝐶 ̅̅̅̅ 𝐴𝐻

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i.

Hipótesis



Tesis: ̅̅̅̅ 𝐴𝐻 < ̅̅̅̅ 𝐵𝐶 Demostración

1. ̅̅̅̅ 𝐵𝐴 < ̅̅̅̅ 𝐵𝐶 ; de ii. Teorema relaciones perpendicular vs oblicuas.

2. ̅̅̅̅ 𝐴𝐻 < ̅̅̅̅ 𝐴𝐵; de iii. Teorema relaciones perpendicular vs oblicuas. 3. ̅̅̅̅ 𝐴𝐻 < ̅̅̅̅ 𝐵𝐶 ; de 1 y 2 transitividad.

Ilustración N° 2

En la figura se tiene: i.

∆𝐴𝐵𝐶

ii.

𝐷 está entre 𝐴 y 𝐵

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA

𝐹 está entre 𝐴 y 𝐶

iv.

̅̅̅̅ 𝐵𝐹 ∩ ̅̅̅̅ 𝐶𝐷 = {𝑂}

v.

̅̅̅̅ 𝐴𝐵 > ̅̅̅̅ 𝐴𝐶

vi.

̅̅̅̅ 𝐵𝐷 ≅ ̅̅̅̅ 𝐹𝐶

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iii.

̅̅̅̅ ̅̅̅̅ > 𝐶𝐷 1. 𝐵𝐹

Demuestre:



2.𝑚 (DOF ) >

𝛼+𝛽+𝜃 3

Demostración 1.





ACB > ABC ; de 5 Teorema relaciones lados vs ángulos en el ∆𝐴𝐵𝐶

2. ̅̅̅̅ 𝐵𝐹 > ̅̅̅̅ 𝐶𝐷 de vi. Y 1 Teorema de la bisagra en los ∆𝐵𝐶𝐹 y ∆𝐵𝐶𝐷 



3. 𝑚 (DOF ) >  ; Teorema  Ext en ∆𝑂𝐵𝐷 



4. 𝑚 (DOF ) >  ; Teorema  Ext en ∆𝑂𝐶𝐹 



5. 𝑚 (DOF ) > 𝑚 (OFC) ; Teorema  Ext en ∆𝑂𝐶𝐹 



6. 𝑚 (OFC) > 𝑚 ( ) ; Teorema  Ext en ∆𝐴𝐵𝐹 



7. 𝑚 (DOF ) > 𝑚 ( ) ; transitividad 5 y 6. 







8. 3𝑚 (DOF ) > 𝑚 ( ) +𝑚 (  ) + 𝑚 ( ) sumando miembro a miembro 7, 3, 4. 

9. 𝑚 (DOF ) >

𝛼+𝛽+𝜃 ; despejando 3

en 8.

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA

Ilustración N° 3 Demuestre que la suma de las medidas de las medianas de un triángulo está comprendida entre el semiperímetro y el perímetro del triangulo.

∆𝐴𝐵𝐶

ii.

̅̅̅̅̅̅ 𝐴𝑀1 mediana.

iii.

̅̅̅̅̅̅ 𝐵𝑀2 mediana.

iv.

̅̅̅̅̅̅ 𝐶𝑀3 𝑚ediana.

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i.

Hipótesis

Tesis:

𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝐴𝐶 2

< 𝐴𝑀1 + 𝐵𝑀2 + 𝐶𝑀3 < 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐴𝐶

Demostración

1. 𝐴𝑀1 > 𝐴𝐵 − 𝐵𝑀1 ; Teorema desigualdad triangular en ∆𝐴𝐵𝑀1

2. 𝐴𝑀1 > 𝐴𝐶 − 𝐶𝑀1 ; Teorema desigualdad triangular en ∆𝐴𝐶𝑀1

3. 2𝐴𝑀1 > 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 − (𝐵𝑀1 + 𝐶𝑀1 ) ; sumando miembro a miembro 1 y 2.

4. 2𝐴𝑀1 > 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 − 𝐵𝐶 ; propiedad de la medida en 3.

 Este resultado es en consecuencia un teorema

que podemos aplicar a las otras dos medianas, así:

5. 2𝐵𝑀2 > 𝐵𝐴 + 𝐵𝐶 − 𝐴𝐶; Teorema  6. 2𝐶𝑀3 > 𝐶𝐴 + 𝐶𝐵 − 𝐴𝐵 ; Teorema 

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7. 2(𝐴𝑀1 + 𝐵𝑀2 + 𝐶𝑀3 ) > 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐴𝐶 ; sumando miembro a miembro 4, 5 y 6. 8. 𝐴𝑀1 + 𝐵𝑀2 + 𝐶𝑀3 >

𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝐴𝐶 2

; despejando en 7.

 Para determinar la cota superior se requiere de una construcción auxiliar así: ̅̅̅̅̅̅ 9. En la semirrecta opuesta a 𝑀1 𝐴, construimos ̅̅̅̅̅̅ 𝑀1 𝑃 ≅ 𝑀 1 𝐴 . Axioma construcción del segmento.

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10. Determinamos 𝐶𝑃 ; definición segmento. 



11. AM1 B ≅ CM 1 P ; Teorema propiedad ángulos opuestos por el vértice. 12. ∆𝐴𝑀1 𝐵 ≅ ∆𝑃𝑀1 𝐶 (L-A-L); de ii. Consecuencias:

⏟ 𝐴𝐵 ≅ 𝑃𝐶 12′

13. 𝐴𝑃 < 𝐴𝐶 + 𝑃𝐶 ; Teorema de la desigualdad triangular en ∆𝐴𝐶𝑃 14. 2𝐴𝑀1 < 𝐴𝐶 + 𝐴𝐵 ; sustitución de 9 y 12’ en 13.

 Este resultado se constituye también en otro teorema que se aplica a las otras dos medianas así:

15. 2𝐵𝑀2 < 𝐵𝐴 + 𝐵𝐶 Teorema  16. 2𝐶𝑀3 < 𝐶𝐴 + 𝐶𝐵 Teorema 

17. 2(𝐴𝑀1 + 𝐵𝑀2 + 𝐶𝑀3 ) < 2(𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐴𝐶) ; sumando miembro a miembro 14, 15 y 16.

18. 𝐴𝑀1 + 𝐵𝑀2 + 𝐶𝑀3 < 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐴𝐶 ; ley cancelativa en 17.

19.

𝐴𝐵+𝐵𝐶+𝐴𝐶 2

< 𝐴𝑀1 + 𝐵𝑀2 + 𝐶𝑀3 < 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 + 𝐴𝐶; de 8 y 18.

Ilustración N°4

Sea 𝑃 un punto interior cualquiera del triángulo 𝐴𝐵𝐶. Demostrar que 𝑃𝐴 + 𝑃𝐵 < 𝐶𝐴 + 𝐶𝐵.

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i. Sea ∆𝐴𝐵𝐶 Hipótesis ii. 𝑃 𝜖 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 ∆𝐴𝐵𝐶 Tesis: 𝑃𝐴 + 𝑃𝐵 < 𝐶𝐴 + 𝐶𝐵.

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Demostración. 1.

𝐴𝑃 ∩ ̅̅̅̅ 𝐵𝐶 = {𝑀}; teorema de la barra transversal.

2. 𝐴𝑀 < 𝐴𝐶 + 𝐶𝑀 ; por desigualdad triangular. 3. 𝑃𝐵 < 𝐵𝑀 + 𝑀𝑃 ; razón de 2.

4. (𝐴𝑀 + 𝑃𝐵) < 𝐴𝐶 + 𝐶𝑀 + 𝐵𝑀 + 𝑀𝑃 ; propiedad de los reales.

5. (𝐴𝑃 + 𝑃𝑀 + 𝑃𝐵) < 𝐴𝐶 + 𝐶𝑀 + 𝐵𝑀 + 𝑀𝑃 ; de la figura: 𝐴𝑀 = 𝐴𝑃 + 𝑃𝑀. 6.

𝑃𝐴 + 𝑃𝐵 < 𝐶𝐴 + 𝐶𝐵; propiedad de la medida y 𝐶𝑀 + 𝑀𝐵 = 𝐶𝐵.

IlustraciónN°5

En

un

triángulo

𝐴𝐵𝐶

se



da

𝐴−𝐷−𝐵

tal



̅̅̅̅ > ̅̅̅̅ Demostrar que: 𝐴𝐶 𝐶𝐷, ACB > A ; ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 > ̅̅̅̅ 𝐷𝐵.

Hipót

esis

i.

∆ 𝐴𝐵𝐶

ii.

𝐴−𝐷−𝐵

iii.

̅̅̅̅ 𝐶𝐵 ≅ ̅̅̅̅ 𝐶𝐷 ≅ ̅̅̅̅ 𝐷𝐴





̅̅̅̅. Tesis: ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 > ̅̅̅̅ 𝐶𝐷, ACB > A ; ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 > 𝐷𝐵 Demostración.

1. ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 > ̅̅̅̅ 𝐴𝐷; de la relación 𝐴 − 𝐷 − 𝐵. 2. ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 > ̅̅̅̅ 𝐶𝐵; sustitución de iii) en 1. 3. ∡𝐴𝐶𝐵 > ∡𝐴; de 2; relación lados versus ángulos en ∆𝐴𝐵𝐶.

que

̅̅̅̅ ≅ 𝐶𝐷 ̅̅̅̅ ≅ 𝐷𝐴 ̅̅̅̅ 𝐶𝐵

.

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4. ∡𝐴𝐷𝐶 > ∡𝐵; ∡𝐴𝐷𝐶 es exterior al ∆ 𝐵𝐶𝐷. 5. ∡𝐴𝐷𝐶 > ∡𝐶𝐷𝐵 ; sustitución en 4 de ∡ 𝐵 y ∡𝐶𝐷𝐵. 6. ∡𝐶𝐷𝐵 > ∡𝐴 ; ∡CDB es exterior al ∆𝐴𝐵𝐶. 7. ∡ADC > ∡A; de 5 y 6; transitividad. ̅̅̅̅ > 𝐶𝐷 ̅̅̅̅; de 7; relación ángulos versus lados en ∆𝐴𝐷𝐶. 8. 𝐴𝐶 ̅̅̅̅ ≅ 𝐶𝐷 ̅̅̅̅ ≅ 𝐷𝐴 ̅̅̅̅ ; hipótesis iii. 9. 𝐶𝐵 10. ∡ADC > ∡DCB; ∡ADC es exterior al ∆𝐷𝐶𝐵.

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11. ̅̅̅̅̅ 𝐴𝐶 > ̅̅̅̅ 𝐷𝐵; de 9 y 10; teorema de la bisagra.