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R. M. 0638 – 80 – ED – LIMA Plaza San Francisco # 138 Telf.: 247458

ALGEBRA

Profs.: Juan Necochea Aybar. - Elio Necochea Aybar ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO Son aquellas que presentan la siguiente forma general: para: a ≠ 0

2

ax + bx + c = 0

Resolución de una ecuación de 2º grado. 1.- Por factorización: La ecuación se factoriza y cada uno de los factores se iguala a cero. Ejm. x2 – x – 12 = 0 Factorizando; ( x – 4 ) ( x + 3) = 0 x = 4 ∧ x = –3 C. S. = {–3 ; 4} 2.- Por fórmula general: (Baskara) x=

Casos que se presentan: Las raíces son reales y Si: ∆ > 0 diferentes. Las raíces son reales e Si: ∆ = 0 iguales. Las raíces son complejas y Si: ∆ < 0 conjugadas. Propiedades de las raíces: Sea: ax2 + bx + c = 0 ; donde x 1 raíces. Luego se cumple: 1)

x1 + x 2 = −

2)

x1 . x 2 =

2

−b ±

b − 4ac 2a

Donde: b2 – 4ac es el discriminante de la ecuación cuadrática y denotamos por:

Estudio de las raíces de una Ecuación de 2º grado: Las raíces de la ecuación de segundo grado dependen de la cantidad subradical. (discriminante)

x2 son

b a

c a

OTRAS PROPIEDADES: 1) | x 1 − x 2 | =

∆ a

2)

1 1 −b + = x1 x 2 c

3)

( x1 + x 2 ) 2 − ( x1 − x 2 ) 2

2

∆ = b − 4ac

∧

= 4 x1 . x 2

4) Si las raíces son simétricas: x1 + x 2 = 0  b = 0 5) Si las raíces son recíprocas:

Academia Antonio Raimondi

…. siempre los

2

primeros Sabiendo que el cociente principal es 9.  a=c 1 3 1 6) Sean las ecuaciones: a) − 2, − b) , − 3 c) − , 2 2 2 4 ax2 + bx + c = 0 . . . (I) a≠ 0 9 7 d) − 1, − e) − 2, − mx2 + nx + p = 0 . . . (II) m ≠ 0 7 9 Si estas ecuaciones poseen las mismas 5.- Hallar la menor de las raíces de la soluciones se cumple: ecuación: 2 a b c x 5x 14 2 = = 2x + = − 3x + m n p 3 2 5 x1 . x 2 = 1

FORMACIÓN DE UNA ECUACIÓN DE 2º GRADO

x2 – ( x1 + x2 ) x + ( x1 . x2 ) = 0 Ejm. Reconstruir una ecuación de 2º grado de raíces: x1 = 2 ∧ x2 = 7  x2 – ( 2 + 7 ) x + ( 2 . 7 ) = 0 ∴ x2 – 9x + 14 = 0

BLOQUE I 1.- Si : x ( x + 1 ) = 12, una de sus raíces es: b) –3

c) 4

2.- Resolver la ecuación: 12 x+ =7 x a) 3 y 4 b) 1 y 2 d) –1 y 3 e) 3 y 5

5 − 2 310 17 5 + 2 30 e) 15

b)

c)

50 + 2 310 15

6.- Resolver e indicar una raíz de: 2 2x − 5x − 1 = 0 5 + 17 2 − 5 − 17 d) 4 a)

b)

−5 + 17 4

c)

5 − 17 4

e)3

7.- Resolver la ecuación cuadrática mónica siguiente:

EJERCICIOS

a) 3

50 − 2 310 15 25 − 2 210 d) 15 a)

d) –4

e) 6

 3a + 1  2  1   10  x +  − 8 x −  + 20  = 0  1  a   a   1+   3  a) 9, -10 b) 10, –11 c) 9, 12 d) –10, 12 e) 11. –9 8.- Hallar la suma de los valores de “x”: 3

c) –3 y 4

3.- Al resolver 3x 2 + x − 2 = 0 ; una de las raíces es: a) 2 b) –3 c) –1 d) 5 e) 4 4.- Resolver la ecuación cuadrática: ( a + 2 ) x2 + ( a + 9 ) x + a = 0

a) 139 d) –189

x+

20 3

x

=9

b) –319 e) 189

c) 40

9.- Cuáles son las raíces de la ecuación: 2

2

x − 3mx + 2m = 0 a) m y –m b) m y 3m c) 2m y –m d) 2m y m e) 6m y m 10.- En la ecuación: x 2 + 6x − m = 0, hallar

Juan Necochea Aybar m si una raíz es -2: a) 3 b) -3 c) 8 6

3 d) -8

e)

11.- Halar la suma y el producto de las raíces de la ecuación: 2 a) 3x + 4x − 1 = 0 2

b) x − 3x + 7

=0

2

c) 2x + 11x − 4 = 0 2

d) 3x − 1

=0

2

e) x + 1 = 0 12.- Calcular k para que la suma de raíces de: 2

x + (k + 8)x + 8 − x = 0 sea igual a -9. a) 1 b) 9 c) 4 d) 2

e) 8

13.- Determine el valor de m tal que el producto de raíces de la ecuación: 2 2x + (m − 1)x + m + 1 = −1 sea igual a 9. a) 13 b) 19 c) 16 d) 9 e) 18 14.- Si: x 1 Λ x 2 son raíces de la ecuación: 1 1 2 2x − x + 3 = 0; Calcular : + x1 x 2 1 1 1 1 3 a) b) − c) − d) e) 3 3 2 2 2 15.- Si: m y n , son raíces de la ecuación: 2

x + bx + c = 0, el valor de : 2

a) b − 4c 2

d) b + 2c

b) b − 4c

2

2

m +n

2

es :

c)2b + c

2

e) b − 2c

16.- Si la ecuación x 2 − 6x + n + 1 = 0 admite como raíces a x 1 Λ x 2 tal que: 1 1 3 + = 2x 1 2x 2 5 encontrar el valor de “n”: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 2 17.- En la ecuación: x − 8x + q = 0, el valor de q para que las dos raíces de la ecuación sean iguales es:

a) 19 d) 9

b) 18 e) 16

Elio Necochea Aybar c) 4

18.- Encontrar el valor de "n", para el cuál la ecuación: 2 x − 2( n − 3 ) x + 4n = 0 tenga raíces iguales. a) 8 y 2 b) 3 y 4 c) 9 y 1 d) 5 y 3 e) 1 y -1 19.- Hallar "2m" para que la ecuación: ( m + 1 ) x 2 − 2mx + m − 3 = 0 tenga 2 raíces iguales es: a) 1 b) –3 c) 3 d) –2 e) 2 20.- Hallar "n" para que el producto de las raíces de la ecuación, sea 6. ( n − 2 ) x 2 − 5x + 2n = 0 a) 4 b) 3 c) 5 d) 1 e) 6 21.- Para que valor de n el discriminante de la ecuación: x 2 − 8x + n = 0 es igual a 20. a) 33 b) 44 c) 11 d) 22 e) 6 22.- Si: x 1 Λ x 2 son raíces de la ecuación: 2

3x + 5x − 1 = 2 + x, el valor de :

( x 1 + 1 ) −1 + ( x 2 + 1 ) −1 1 a) − 2 1 d) 2

1 b) 4

es : c) −

1 4

e) 2

x +1 x + 3 2 − = ; el x+2 x+4 3 producto de las raíces obtenidas es: a)6 b) − 6 c) − 11 d)11 e)13 BLOQUE II 23.-

Al

resolver:

1.- Resolver:

Academia Antonio Raimondi EMBED Equation.DSMT4

( 2 − x)3 + ( 3 + x)3

=5 ( 2 − x)2 + ( 3 + x)2 dar como respuesta una de sus raíces. a) –2 b) –3 c) 4 d) -5 2.- Resolver: EMBED Equation.DSMT4 a) 21 y 15 d) 15 y 25

primeros 7.- El valor de "m" para que una de las raíces de la ecuación: EMBED Equation.DSMT4 2 x − ( m + 4 ) x + 5m − 8 = 0 sea el triple de la otra es: e) 6 a) 12 b) 11 c) 13 d) 2 e) 4 8.- Si: "p" y "q" son raíces de la ecuación: EMBED Equation.DSMT4

2x + 1 − x − 8 = 3 b) 22 y 30 c) 24 y 12 e) 23 y 22

3.- Si una de las raíces de la siguiente ecuación: EMBED Equation.DSMT4 ( 2n − 1 ) x 2 + ( 5n + 1 ) x − 3 = 0 , es EMBED Equation.DSMT4 − 3 . Determinar el valor de "n". a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 4.- Si a un número se le hace Equation.DSMT4

3

1 2

…. siempre los

4

EMBED

veces mayor, resulta

la mitad de su cuadrado más 3. ¿Cuál es el número? a) 6 ó 1 b) 5 ó 2 c) 4 ó 6 d) 5 ó 3 e) 3 ó 1 5.- Hallar la suma de los valores de "n" en la ecuación: EMBED Equation.DSMT4 2 , x − nx + 1 = 0 sabiendo que la suma de los cubos de sus raíces es igual a –2. a) 3 b) –3 c) –2 d) 1 e) –1 6.Dada la ecuación: EMBED Equation.DSMT4 x 2 − 10x + m = 0 si la suma de los cuadrados de sus raíces es 40. Hallar "m". a) 100 b) –30 c) 30 d) –70 e) 70

2

x + 2bx + 2c = 0 entonces el valor de: 1 1 Equation.DSMT4 2 + 2 es: p q

EMBED

2

a) EMBED Equation.DSMT4

4b − c 4c

2

2

b − 4c

b) EMBED Equation.DSMT4

2

c

2

b −c

c) EMBED Equation.DSMT4

4c

2

2

d) EMBED Equation.DSMT4

b −c c

2 2

e) EMBED Equation.DSMT4

4b − c c

2

9.- Hallar "k" para que la ecuación: x2 + 2 ( k + 2 ) x + 9k = 0 tenga por solución valores reales e iguales. a) 4; 1 b) 3; 2 c) 2; 1 d) 4; 3 e) 1; 3 10.- En la ecuación: 2x2 + 3x + d = 0 una de las raíces es 3, la suma de la otra raíz más “d” es: 63 a) EMBED Equation.3 − b) 2 63 EMBED Equation.3 c) 2 61 EMBED Equation.3 − 2

Juan Necochea Aybar 9 d) EMBED Equation.3 − 2 9 EMBED Equation.3 2

5 e)

11.- Las raíces de la ecuacíon de segundo grado son: EMBED Equation.3 ± 2 3 − 5 ; dicha ecuación es: a) x2 – 10x + 13 = 0 b) x2 + 10x – 13 = 0 c) x2 + 10x + 13 = 0 d) x2 – 10x – 13 = 0 e) x2 + 10x + 12 = 0 12.- En la ecuación: 2x2 – (m – 1) x + (m + 1) = 0 ; que valor positivo debe darse a “m” para que las raíces difieran en 1. a) 1 b) 11 c) 10 d) 4 e) 5 13.- Hallar el mayor valor de “m” si: x2 – (3m – 2) x + m2 = 1 cumple que otra raíz es el triple de la otra. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 8 Academia Antonio Raimondi

Elio Necochea Aybar