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• Alex Sanchez

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Universidad Nacional Aut´ onoma de Honduras En el Valle de Sula UNAH-VS Departamento de F´ısica

Experimento Virtual No.1 LF-100

VECTORES OBJETIVOS 1. Diferenciar una cantidad f´ısica entre vectorial y escalar. 2. Conocer los diferentes m´etodos para la adici´on de vectores. 3. Calcular un vector resultante usando varios m´etodos vectoriales. 4. Calcular el producto punto y producto cruz de varios vectores. APARATOS Y MATERIALES • regla

• papel milimetrado

• transportador

• calculadora

´ MARCO TEORICO ´ DE UN VECTOR DEFINICION En f´ısica nos encontramos con cantidades que para estar completamente determinadas es necesario conocer su magnitud e expresada en alguna unidad conveniente. Cantidas que solo son representadas por un valor num´erico y unidad son llamados escalares. Ejemplos: tiempo(s); masa(kg); temperatura(C ◦ ) Otras magnitudes f´ısicas requieren, adem´as que se a˜ nada una direcci´on a su magnitud. Estas cantidades reciben el nombre de vectores. Entonces decimos que un vector, es una cantidad f´ısica que tiene propiedades n´ umericas y direccionales. Ejemplos: velocidad, aceleraci´ on, fuerza, etc. ´ GRAFICA ´ REPRESENTACION DE VECTORES Gr´aficamente, los vectores se representan por segmentos de l´ıneas dirigidas que tienen la misma direcci´ on que el vector y una longitud proporcional a su magnitud, como se muestra en la Fig. 1.

s

−v = →

/ 8m

35◦ Figura 1: Vector de velocidad

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En lo escrito, un vector lo denotaremos por medio de una letra con una flecha sobre ella: ~v. La magnitud del vector la podemos indicar |~v| ´o simplemente v. ´ DE UN VECTOR POR UN ESCALAR MULTLIPICACION ~ un vector y m un escalar. El vector mV ~ lo definiremos de la siguiente manera: Sea V ~ ser´ ~ = |m||V| ~ = |m|V 1. La magnitud de mV a |mV| ~ ~ ser´a la misma que la del vector V. ~ 2. Si m > 0 y V 6= 0, entonces la direcci´on de mV ~ 6= 0, la direcci´ ~ ser´a opuesta a la de V. ~ 3. Si m < 0 y V on de mV ´ DE VECTORES: METODOS ´ ´ ADICION GRAFICOS A.M´ etodo del Tri´ angulo ~ y B. ~ La suma de ellos Este m´etodo se aplicar´ a al tener la suma de 2 vectores, por ejemplo, A ~ =A ~ + B. ~ Geom´etricamente se define como en la Figura ser´a un vector distinto a los dos, C ~ ~ lo colacamos al final 2: dibujamos el vector A conservando la direcci´on; el inicio del vector B ~ ~ del vector A conservando su direcci´on; el vector resultante C ser´a el que va del inicio del ~ al final del B. ~ vector A

~ B

~ A

~C

=

~A

+

~B

~ B

~ A Figura 2: M´etodo del Tri´angulo B.M´ etodo del Pol´ıgono Si la cantida de vectores a sumar es mayor a dos, el tercer vector se iniciar´ıa al final del segundo, siempre conservando su direcci´ on y magnitud, y as´ı sucesivamente hasta haber dibujado todos los vectores sumandos. El vector resultante ser´a el que va desde el inicio del primer vector hasta el final del u ´ltimo vector, como se muestra en la figura 3. En general, seguimos el mismo procedimiento del m´etodo anterior, siempre sumando los vectores ”punta con cola”. 2

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~ C

~ = E ~ + A ~+~ B C+

~ D

~ D

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~ B

~ A Figura 3: M´etodo del poligono con tres vectores C.M´ etodo del Paralelogram Este es otro m´etodo gr´ afico para la suma de 2 vectores. Consiste en colocar juntos los puntos iniciales de los vectores sumandos y cosntruir un paralelogramo proyectando l´ıneas paralelas a los vectores. El vector resultante ser´a la diagonal del paralelogramo que se forma, como se muestra en la figura 4.

~ ~ +B ~ =A R

~A ~ B

Figura 4: M´etodo del paralelogramo. La diagonal del paralelogramo representa la resultante de los vectores A y B. ~ y B, ~ pero ahora *Diferencia de Vectores Si usamos los mismo vectores de la figura 1, A ~ ~ ~ ~ los restamos de la forma: A − B que es misma suma de A + (−B). Vemos que el vector ~ es afectado por un signo negativo. Gr´aficamente esto representa un cambio de 180◦ en la B direcci´on del vector, pero su magnitud permanece igual. La resta vectorial se ilustra en la figura 5.

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~ B

D~

~ A = ~ A

~ -B

−~ B

Figura 5: M´etodo del Tri´angulo ´ DE VECTORES: METODO ´ ADICION ANAL´ITICO A.Componentes de un Vector Los componentes rectangulares de un vector son las proyecciones de dicho vector en la direcci´ on del eje horizontal y eje vertical,entonces el vector se expresa como la suma de dos vectores mutuamente perpendiculares. (Figura 6) y

−V → θ − → Vx

Donde ~ =V ~x+V ~y V Vx = V cosθ Vy = V senθ

− → Vy x

Figura 6: Componentes rectangulares El m´odulo o magnitud de un vector se puede expresar en funci´on de sus componentes rectangulares. A partir del Teorema de Pit´agoras el m´odulo del vector sera: q → − | V| = Vx2 + Vy2 Y la direcci´ on del vector la encontramos de la siguiente manera: θ = tan−1

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V  y

Vx

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EJEMPLO M´etodo de Componentes ~ de la suma de F ~1 y F ~ 2. Encontrar el vector resultante F y

~1 F θ1

−x

~ 1 = 108N, 37◦ F ~ 2 = 85N, 60◦ F

x

~ =F ~1 +F ~2 F

θ2 ~2 F

−y 1. El primer paso para calcular el vector resultante ser´a el c´alculo de los componente de cada vector, aplicando nuestros conocimientos de trignometr´ıa.

F1x = F1 cosθ F1y = F1 senθ

F1x = (108N )cos37◦ = 86,25N F1y = (108N )sen37◦ = 64,99N

F2x = F2 cosθ F2y = F2 senθ

F2x = (85N )cos60◦ = (−)42,5N F2y = (85N )sen60◦ = (−)73,61N

~ 2 est´ *Como el vector F a en el III cuadrante, sus componentes en x y y ser´ an negativos. Al hacer el c´ alculo con el a ´ngulo respecto al eje x negativo, obtenemos valores positivos por lo que debemos aplicar signos negativos a nuestras respuestas. Otra opci´ on es usar el a ´ngulo de referencia desde el eje x postivo. Para este caso es 60◦ + 180◦ = 240◦ . Es de importacia que nuestros componentes tengan los signos correctos, ya que el siguiente paso ser´ a calcular una suma de componentes. Sino es as´ı, estaremos acarreando un error hasta nuestra respuesta final.

2.Calculamos sumatorias de componentes en x y y. P P P Fx = F1x + F2x P Fx = 86,25N + (−42,5) = 43,75N Fy = F1y + F2y Fy = 64,99N + (−73,61) = −8,62N *Si tuvieramos m´ as vectores para sumar, agregamos los componentes de ese vector a las sumas igualmente.

3.Usando el Teorema de Pit´ agoras, anteriormente descrito, calculamos la magnitud del vector resultante. ~ = |F|

pP P ( Fx )2 + ( Fy )2

~ = |F|

p (43,75)2 + (−8,62)2 = 44,61N

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4. Para completar la definici´ on de un vector, que debe tener magnitud y direcci´on, calculamos el ´angulo.  −8,62  F  y θ = tan−1 θ = tan−1 = −11,15◦ Fx 43,75 5. Respuesta Final ~ = 44,61N @ − 11,15◦ F *Si resolvemos el ejercicio usando m´etodos gr´aficos y la escala adecuada, obtendremos valores muy cercanos al obtenido con el m´etodo de los componentes. *El signo que resulte en los vectores de las sumas de los componentes, en este caso, P P Fx = 43,75 y Fy = −8,62, nos indican que el vector resultante est` a localizado en el cuadrante donde +x y −y, osea en el tercer cuadrante. ´ VECTORIAL NOTACION Otra forma de representar vectores es con los vectores unitarios. Comunmente, los nombramos ˆ Ellos son paralelos a los ejes x, y y z, respectivamente, como se muestra en la como ˆi, ˆj y k. figura. z vz kˆ

~v

ˆk ˆj ˆi y

vy ˆj

vxˆi

x

El vector ~v entonces puede ser representado por medio de los vectores unitarios que denotan la direcci´on de sus componentes de la siguinete manera: ˆ ~v = vxˆi + vyˆj + vz k

Para la adici´ on de vectores usando esta notaci´on solo se suman los componentes que van en la misma direcci´ on. Por ejemplo, si tenemos los vectores ˆ ~ = Axˆi + Ayˆj + Az k A ˆ ~ = Bxˆi + Byˆj + Bz k B ~ yB ~ podemos escribirla: La adici´on de los vectores A ˆ ˆ ˆ ˆ ~ ~ A + B = (Ax i + Ay j + Az k) + (Bxˆi + Byˆj + Bz k) ˆ = (Ax + Bx )ˆi + (Ay + By )ˆj + (Az + Bz )k

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PRODUCTO ESCALAR ~ yB ~ es unn escalar que est´a dado por: El producto escalar o producto punto de dos vectores A ~ ·B ~ = ABcosθ A ~ y B, ~ y0≤θ≥π donde θ es el ´ angulo entre A La candici´ on de perpendicularidad , θ =

π ~ ·B ~ =0 se expresa: A 2

Propiedades del Producto Escalar ~ ·B ~ =B ~ · A........................Ley ~ 1. A Conmutativa ~ · (B ~ + C) ~ =A ~ ·B ~ +A ~ · C.........Ley ~ 2. A Distributiva ~ ·B ~ =A ~ · (mB) ~ = m(A ~ · B) ~ donde m es un escalar cualquiera. 3. (mA) ~ ·A ~ = A2 4. A ˆ son: Los productos escalares entre los vectores unitarios ˆi, ˆj y k ˆi · ˆi = ˆj · ˆj = k ˆ·k ˆ=1 ˆi · ˆj = ˆj · k ˆ = ˆi · k ˆ=0 Ejemplo ˆ ~ = 3ˆi − 5ˆj + 2k A ˆ ~ = −12ˆi + ˆj − 8k B ˆ · k) ˆ ~ ·B ~ = (3)(−12)(ˆi · ˆi) + (−5)(1)(ˆj · ˆj) + (2)(−8)(k A ~ ·B ~ = −36 − 5 − 16 A ~ ·B ~ = −57 A *Con este resultado comprobamos que al hacer el producto punto de dos vectores obtenemos un escalar.

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PRODUCTO VECTORIAL O PRODUCTO PUNTO ~ y B, ~ llamado a veces producto externo de dos El productor vectorial o cruz de dos vectores A vectores es otro vector dado por : ~ ×B ~ = ABsenθˆ A u ~ y B, ~ 0≤θ≥πyu ~ ,u ~ ˆ es un vector unitario, tal que u ˆ⊥A ˆ ⊥ B. donde θ es el ´ angulo entre A La magnitud del producto vectorial est´a dada por: ~ × B| ~ = ABsenθ |A Propiedades del Producto Escalar ~ ×B ~ = −B ~ ×A ~ .......Ley Anticonmutativa 1. A ~ × (B ~ + C) ~ =A ~ ×B ~ +A ~ × C....... ~ 2. A Ley Distributiva ~ ×B ~ =A ~ × (mB) ~ = m(A ~ × B) ~ 3. (mA) ~ ×A ~ =0 4. A ˆ ˆj × k ˆ = ˆi, k ˆ × ˆi = ˆj 5. ˆi × ˆj = k, ˆ en las direcciones de x, y Expresando los vectores por medio de los vectores unitarios ˆi, ˆj y k y z, entonces el producto vectorial se expresa de la siguiente manera: ˆ ~ ×B ~ = (Ay Bz − Az By )ˆi + (Az Bx − Ax Bz )ˆj + (Ax By − Ay Bx )k A En forma m´ as compacta, podemos calcular el producto cruz de dos vectores mediante el desarrollo del determinante de unamatriz 3 x 3.   ˆi ˆj ˆ       k ˆ ~ ×B ~ = Ax Ay Az  = Ay Az ˆi − Ax Az ˆj + Ax Ay k A By Bz Bx Bz Bx By Bx By Bz Ejemplo ~ = (2, 0, −1) y D ~ = (5, 3, −2). Calcule el producto vectorial de los vectores C Los vectores se pueden escribir como ˆ ~ = 2ˆi − k C ˆ ˆ ~ D = 5i + 3ˆj − 2k El producto cruz de ellos entonces es:   ˆi ˆj k ˆ       0 −1 ˆ 2 −1 ˆ 2 0 ˆ ~ ~   C × D = 2 0 −1 = i− j+ k 3 −2 5 −2 5 3 5 3 −2

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ˆ = ˆi[(0)(−2) + (3)(−1)] − ˆj[(−2)(2) + (−1)(5)] + k[(2)(3) + (5)(0)] ˆ =−3ˆi + 9ˆj + 6k *Con este resultado comprobamos que al hacer el producto cruz de dos vectores obtenemos otro vector. PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL A. SUMA DE DOS VECTORES 1. Ingresar al simulador de vectores dando click en este cuadro SimuladordeV ectores . 2. Para esta primera parte se usa la opci´on paralelogramo, para la suma de dos vectores. 3. Ajustar los valores de los cuadros de r y α seg´ un los valores dados en la Tabla 1. Debido a que el simulador solo acepta valores de ´angulos positivos se debe sumar 360◦ para encontrar el angulo equivalente positivo. 4. Dar click en la opci´ on ”Graficar Paralelogramo”, para que el simulador muestre el resultado. 5. Registrar la magnitud y direcci´on del vector resultante que aparecen en los cuadros del lado derecho del simulador, en la Tabla 1. ~ 1 = r (rojo) V ~ 2 = r (azul) V θ1 = α (rojo) θ2 = α (azul) ~R=r V θR = α

10 28 180◦ −38◦

Tabla 1: Suma de 2 vectores

B. SUMA DE TRES VECTORES 1. Entrar al simulador una vez m´as SimuladordeV ectores . 2. Ahora dar click en la opci´ on pol´ıgono, para la suma de tres vectores. 3. Ajustar los valores de los cuadros de r y α seg´ un los valores dados en la Tabla 2. 4. Dar click en la opci´ on ”Graficar Pol´ıgono”, para que el simulador muestre el resultado. 5. Registrar la magnitud y direcci´on del vector resultante que aparecen en los cuadros del lado derecho del simulador en la Tabla 2.

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~ 1 = r (rojo) A ~ 2 = r (azul) A ~ 3 = r (verde) A θ1 = α (rojo) θ2 = α (azul) θ3 = α (verde) ~R=r A θR = α

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15 24 6 −16◦ 142◦ −110◦

Tabla 2: Suma de 3 vectores

´ ´ CALCULOS Y ANALISIS DE RESULTADOS

1. Dos Vectores y su Resultante(Tabla 1) a) Usando una escala adecuada, regla, transportador y papel milimetrado, encuentre ~ R de la suma de los dos vectores originales por el m´etodo del el vector resultante V tri´ angulo. Se˜ nalize correctamente cada vector y cada ´angulo. b) Usando una escala adecuada, regla, transportador y papel milimetrado, encuentre ~ R de la resta de los dos vectores originales(V ~1−V ~2 ) por el el vector resultante V m´etodo del tri´ angulo. Se˜ nalize correctamente cada vector y cada ´angulo. c) Resolver el inciso (a) haciendo uso del m´etodo gr´afico del paralelogramo. ~ 1 +V ~2 ) a trav´es del m´etodo anal´ıtico de componentes, d ) C´ alcule el vector resultante(V dejando registro de todos sus c´alculos.

2. Tres Vectores y su Resultante(Tabla 2) ~R = A ~1+A ~2 + A ~3 aplicando el m´etodo del a) Resuelva para el vector resultante A pol´ıgono, dejando registro de todo su procedimiento, haciendo el diagrama vectorial en papel milimetrado y con los instrumentos de dibujo adecuados. ~R = A ~1−A ~2 + A ~3 aplicando el m´etodo del b) Resuelva para el vector resultante A pol´ıgono, dejando registro de todo su procedimiento, haciendo el diagrama vectorial en papel milimetrado y con los instrumentos de dibujo adecuados. ~R = c) Resolver por el m´etodo anal´ıtico de componentes para el vector resultante A ~1+A ~2 + A ~3 A

3. Producto Punto y Producto Cruz ~ yB ~ donde: a) Encuentre el ´ angulo entre los vectores A ˆ ˆ ˆ ~ A = 2i + 2j − k 10

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ˆ ~ = 7ˆi + 24k B ˆyB ˆ ~ = 2ˆi + αˆj + k ~ = ˆi + 3ˆj − 8k b) Determine el valor de α de modo que A ˆ −3ˆi × −2k, ˆ 2ˆj × 3ˆi − k ˆ c) Eval´ ue 2ˆj × 3k, ˆyB ˆ encuentre ~ = 15ˆj + 2k ~ = −2ˆi + 12ˆj − 5k, d ) Si A ~ ×B ~ 1) A ~ ×A ~ 2) B ~ + B) ~ × (A ~ − B) ~ 3) (A

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