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SOLUCION AL TALLER DE ALGEBRA LINEAL 1. Utilice le metodo de eliminacion de Gauss-Jordan, para encontrar todas las soluciones (si existen) de los siguiente sistemas lineales: 1.1. x — 4y —7z =1 5x —7y — z = 5 —4x+y+6z=-4 Solucion: Reescribimos el sistema de ecuaciones en la forma de una matriz y lo resolvamos por el metodo de eliminacion de Gauss-Jordan: 5 ( —4 —1 —7 6

5 —4 )

Multiplicamos la fila 1 por -5 y se la sumamos a la fila 2. Multiplicamos la fila 1 por 4 y se la sumamos a la fila 3. (1 0 0

—7 —4 4 13 — 3 22 —15

1)

0 0

Dividimos la fila por 13: (1 0

—4 1 —15

—7 343 —/122

1)

0 Multiplicamos la fila 2 por 4 y se la sumamos a la fila 1. Multiplicamos la fila 2 por 15 y se la sumamos a la fila 3. 0 (1 0 0

(1 0 0

1 0

45/13 34/13 224/13

1) 0 0

0 1 0

45/13 34/13 1

1) 0 0

Dividimos a fila 3 por 224/13:

0 0

Multiplicamos la fila 3 por —45/13 y se la sumamos a la fila 1. Multiplicamos la fila 3 por —34/13 y se la sumamos a la fila 2. 1\ /1 0 1

1 (0 1 1 0) 0 0 1 I0

Finalmente: 1

0

7

=0

1.2. 3x — 4y — 7z = 11 5x — 7y — z = —18 Solucion: El sistema de ecuaciones no tiene solucion debido a que el sistema solo posee dos ecuaciones con 3 variables desconocidas (incognitas). 1.3. x — 4y — 7z + 4w = —11 5x — 7y — z — 5w = —8 —4x+y+6z—w=-4 6x — y — z — w = —2 Solucion: Reescribimos el sistema de ecuaciones en la forma de una matriz y lo resolvamos por el metodo de eliminacion de Gauss-Jordan:

/

Multiplicamos la fila 1 por -5 y 1se la —sumamos 4 — 7 a la 4 fila 2.—11 5 — 7 — 1 — Multiplicamos la fila 1 por 4 y se la sumamos a la5 fila—3. 8 — 7 —1 Multiplicamos la fila 1 por -6 y—4 se 1la sumamos 6a la fila— 4. 2 / \ 6 —1 —1 —1

/

1

0 0 \O

—4 13 —15 23

—7 34 — 22 41

4 —25 15 —25

—11 47 —51 64

Dividamos la fila 2 por 13: /1

\

—4 —7

0 0 \O

1 —15 23

34/13 —22 41

4 —25/13 15 —25

—11 47/13 —51 64 /

Multiplicamos la fila 2 por 4 y se la sumamos a la fila 1. Multiplicamos la fila 2 por 15 y se la sumamos a la fila 3. Multiplicamos la fila 2 por -23 y se la sumamos a la fila 4.

/

\ 45/13 —48/13a la fila 1.45/13 1 0—45/13 Multiplicamos la fila 3 por y se la sumamos Multiplicamos la fila 3 —25/13 47/13 34/13 0 1 a la fila 3. Multiplicamos la fila 3 por 249/13 y se la por —34/13 y se la sumamos —180/13 42/13 1 224/13 sumamos a la fila 4. 0 0 —249/13 250/13 —249/13/ \o 0 / \ 1 Dividimos la fila 3 por 224/13: 0 0 —51/56 45/16 0 1 0 5/28 25/8 / 0 0 1 —45/56 3/16 1 10 45/13 —48/13 45/13 \O 0 0 215/56 —249/16/ —25/13 47/13 01 34/13 Dividimos la fila 3 por 215/56: 00 1 —45/56 3/16 i \O 0 —249/13 250/13 —249/13/ 45/16 / 1 0 0 —51/56 0 0 \O

1 0 0

0 1 0

5/28 —45/56 1

25/8 3/16 1 —1743/430/

Multiplicamos la fila 4 por 51/56 y se la sumamos a la fila 1. Multiplicamos la fila 4 por —5/28 y se la sumamos a la fila 2. Multiplicamos la fila 4 por 45/56 y se la sumamos a la fila 3.

0 0 0 1

—189/215 \ 331/86 —132/43 —1743/430/ i

Finalmente: —189/215 —132/43

331/86 —1743/430

1.4. x — 4y = —3 5x — 7y = —2 —4x + 16y = —4

Solucion: Reescribimos el sistema de ecuaciones en la forma de una matriz y lo resolvamos por el metodo de eliminacion de Gauss-Jordan: ( 3

) 5 —7 0 —2 —4 16 0 —4

Multi plica mos la fila 1 por -5 y se la suma mos a la fila

2. Multi plica mos la fila 1 por 4 y se la suma mos a la fila 3. ( 1 — 4 0 — 3 ) 0 13 0 13 \0 0 0 — 16 Dividimos la fila 2 por 13: (1 — 4 0 —3 ) 0 1 0 1 0 0 0 — 16 Multiplicamos la fila 2 por 4 y se la sumamos a la fila 1.

(1 0 0 01 0 1 0 0 0 — 16 Finalmente, el sistema de ecuacion no tiene solucion, debido a que: 11111E16

2. Resuelva el siguiente sistema lineal, empleando para ello la factorizacion LU.

x — 4y — 7 z + 4w = —11 5x — 7 y — z — 5w = —8 —4x+y+6z=-4 —4x+y+6z—w=-2 Solucion: Armamos la matriz:

— 4 — 71 —

3

A= 1 (

—4 3 —7 1 1— —4 1 6 (

—7 —1 6 —1

4 —5 —1 —1

—4

— 7 — 1 6

4

F2 = F2 - 5 F1

—5 —1 —1 1

—4

—7

F3 = F3 + 4F1 F4 = F4 - 6 F1

15 23 22 41 15 —25

— 1 —4 7 F3 = F3 + 15/13 F2 0 13 34 —25 F4 = F4 - 23/13 F2 0 0 224/13 —180/13 0 0 —249/13 250/13 1 —4 —7

______________________ ( F4 = F4 + 249/224 F3

0 13

—25

34

0 0 224/13 —180/13 00 0 215/56

( 1 —4 —7 4

0 13 34 —25 0 0 224/13 —180/13 00 0 215/56 Ahora armaremos la matriz L:

manera:

0

4

4

Luego, la matriz U sera:

(1

4 — )

0 ( 0013 — 34 — 25

0

0

5 1 0 0 —4 —15/13 1 0 6 23/13 —249/224 1

Luego, usando la matriz L, el nuevo conjunto de ecuaciones quedara de la siguiente

/

a + Ob + Oc + Od = —11 5a + b + Oc + Od = —8 —4a —15/13 b + c + Od = —7 6a + 23/13 b —249/224 c + d = —2

Resolviendo el sistema de ecuaciones anteriores, obtenemos: 

a + Ob + Oc + Od = —11

a = —11  5a + b + Oc + Od = —8 5(-11) + b = —8

b = 47 

—4a —15/13 b + c + Od = —7 —4(-11)

—113

15 (47) + c = —7

42 c u



6a + 23/13 b —249/224 c + d = —2 6(-11) + u (47) — —224 13) + d = —2 249 42 (

23

d=

—249 16

Ahora armaremos nuestro nuevo sistema de ecuaciones: x — 4y — 7z + 4w = —11 1 x — 4 y — 7 z + 4 w = — 11 -> 5x — 7y — z — 5w = —8 Ox + 13y + 34z — 25w = 47 —4x+y+6z=-4 Ox + Oy + 224/13 z — 180/13 w = 42/13 —4x+y+6z—w= —2 Ox + Oy + Oz + 215/56 w = — 249/16 Resolvemos el sistema de ecuaciones que esta en rojo: 

Ox + Oy + Oz + 215/56 w = — 249/16 215/56 w = — 249/16 —1743/430



Ox + Oy + 224/13z— 180/13w = 42/13

(-1743 ) 224 z —180 — 430 13 13

42 —— 13

z= — 132/43 

Ox + 13y + 34z — 25w = 47 (-132) — 5

(

-

1

7

4

3

)

.

4

7

430 )

13Y + 34 43 ) y = 331/86

 x — 4y — 7z + 4w = —11 x _ 4 (-1744303) 7 (-13432)+4 (1744303) = —11

x = —189/215 3. Resuelva el siguiente sistema lineal, empleando para ello la inversa (utilice el metodo que prefiera para hallar A-1). 3x — 4y — 7 z = 11 5x — 7y — 2 z = —9

—4x+y+6z=7 Solucion:

Primero que toda, armaremos la matriz a utilizar: (3 —4 —7 A = 5 —7 —2 —4 1 6 Ahora, calculamos el determinante:

Det (A) = 3(-42 + 2) — (-4)(30 — 8) + (-7)(5 — 28) Det(A) = —120 + 88 + 161 Det (A) = 129

Luego, hallamos la matriz transpuesta de A: 3

5 —4) —7 A = (-4 —7 —2 T

1 6

Calculamos los determinantes de los cofactores de la matriz transpuesta: -7 1 all 1—2 1 6 -- —40 1-4 11 a12 = 1-7 6 -- —17

n = 1-7 —4 —7 1

a

_2 -- —41

=1

1 5 —41 _ —2 6

a21

22

—

3

a22

41 = —10 = 1-7 6

a23

=1

— 7 521 = 29

3

a31

=5 4 17 11 = —23

a323 —41 = —13a33 = 32 = —41

—1

I-4

71 5 =

Armamos la matriz Adjunta, con los determinantes de los cofactores hallados anteriormente:

— 40 Adj(A) = (17 - 4 1 ) 1 —10 — 22 29 A-1 _____________* 13 Adj(A)-—1 — 23 Det (A)

Finalmente, tenemos que: que: Del mismo modo, tenemos A. X = B Despejando X tenemos: X = A-1. B Donde: X Es la matriz de las incognitas a encontrar B Es la matriz de los terminos independientes (X12) = (A-1). (BB21 X2 X3 1

( ; ) z

1

) B3 —40 17 —41) (-11) . ( - 2 2 2 .i _ 2 3 13 —19 7

1

0 129)

(33(1) = 129 . (129 (x) (0) y = 1 z 1

Finalmente:

x=0

4. Encuentre las ecuaciones simetricas y parametricas de la recta que: 4.1. Contiene a los puntos P = (-8,4, 1) y Q = (-1, —8, —3) Solucion: Si P = (x, y, z), A = (a1, a2, a3) y v = (v1, v2, v3), entonces:

(x, y, z) = (a i ,

a2,

a 3 ) + A(vi, v2, v 3 ) entonces

(x, y, z) = (a1 + Avi, a2 + Ave, a3 + Av3) De la igualdad anterior se tiene que:

x = a1 + Avi y = a 2 + Av2 Ecuaciones parametricas de la recta z = a3 + Av3 Si de las anteriores ecuaciones despejamos A, tenemos que:

x — al A =________ con vi_ # 0 V1

x — a2 x — a3 A =________ con v 2 # 0 A =_______ con v 3 # 0 V2

V3

Por consiguiente:

x — al y — a2 z — a3

Ecuaciones simetricas de la recta = ____= 1,3 vi debemos Primero que todo, V2 encontrar en vector f3 de la recta, que contiene a los puntos P y Q: f3 = P. Q = ([-1 — (-8)], [-8 — 4], [-3 — 1]) f3 = (7, —12, —4) Luego de haber calculado el vector f), y teniendo un punto (P), calculamos la ecuacion de la recta:

(x, y, z) = P + (f) )t (x, y, z) = (-8, 4, 1) + (7, —12, —4) t Ecuacion Vectorial

Armamos las ecuaciones parametricas:

x = —8 + 7t y = 4 — 12t Ecuaciones Parametricas z =1— 4t Luego, armamos las ecuaciones simetricas:

x + 8 y — 4 z —1 = = 7 —12 —4

Ecuaciones Simetricas

4.2. Contiene a P = (5, 3, —7) y es paralela a la recta x = y+3 = z+4 -6

-6

2

Solucion: Como el vector de direccion de la recta pedida es paralelo al vector de direccion de la recta antes descrita, podemos armar las ecuaciones simetricas y parametricas que rigen el sistema: V = (-6, —6, 2)

(x, y, z) = P + (V)t (x, y, z) = (5, 3, —7) + (-6, —6, 2)t Ecuacion Vectorial Armamos las ecuaciones parametricas:

x= 5 — 6t y = 3 — 6t Ecuaciones Parametricas z = —7 + 2t Luego, armamos las ecuaciones simetricas: Ecuaciones Simetricas 5. Encuentre la ecuacion general del piano que: 5.1. Contiene a los puntos P = (-8,4, 1), Q = (-1, —8, —3) y R = (-3, —2, —1) Solucion: Recordemos que el producto cruz de los dos vectores directores del plano es un vector perpendicular a estos dos y por lo tanto este vector es perpendicular a cualquier vector del plano. Sea KI = (a, b, c), el vector obtenido del producto vectorial de los dos vectores formados con los tres puntos dados del plano, P, Q y R. Si T = (x, y, z) es un punto cualquiera del plano, P. Q, P.R o P. T, son vectores que estan en el plano y por tanto

P. Q.KI = 0 P. R.KI = 0 P.T.KI = 0, Cualquiera de estas igualdades conduce a la ecuacion del piano. Donde KI es el vector normal del piano. [(x, y, z) — PLR' = 0 Ecuacion A

A(x — x0) + B(y — Yo) + C(z — zo) = 0 Ecuacion del piano Hallamos el vector normal:

KI =C013 * 0 QP = ([-1 — (-8)], [-8 — 4], [-3 — 1]) = (7, —12, —4) RP = ([-3 — (-8)], [-2 — 4], [-1 — 1]) = (5, —6, —2) Ki = (7, —12, —4) * (5, —6, —2)

Det (N

7

—12 —4

1 —k = — 5 —6 —2 i

)

Det ( v ) = [( 12)( 2) — (-6)(-4)]i — [(7)(-2) — (5)(-4)]j + [(7)(-6) — (5)(-12)]k -

-

Det(v) = 0 i — 6j + 18 k

KI = (0, —6, 18) De la Ecuacion A, tenemos que:

(x, y, z)KI — KI P = 0 (x,y,z)K1 = KIP (x,y,z) . (0, —6,18) = (0, —6,18) . (-8, 4,1) Ox — 16y + 18z = 0 — 24 + 18 Ox — 16y + 18z = —6 —16y + 18z + 6 = 0 5.2. Contiene al punto P = (-1, —8 — 3) y tiene como vector normal a Fi. = —3'i + 21 — 5k Solucion: Como ya sabemos:

(x, y, z)/V — KIP = 0 (x, y, z)/V = /VP AT = (-3, 2, —5)

(x, y, z) . (-3,2,-5) = (-3,2,-5) . (-1, —8, —3) —3x + 2y — Sz = 3 — 16 + 15 —3x + 2y — Sz = 2 —3x + 2y — 5z — z 6. Encuentre todos los puntos de interseccion de los pianos: iti: 9x — 2y — 8z = 10 y ir 2 : —5x — 7y — 8z = 2 Solucion: Recordemos que la interseccion de dos pianos es una Linea recta comfin a ambos pianos. Para hallar la interseccion de los pianos dados, debemos hallar el vector director f3 de la recta interseccion. El vector f3 se halla mediante el producto vectorial de los vectores normales de los pianos dados, entonces tenemos que: /T/i) = (9, —2, —8)

Na = (-5, —7, —8) f3 = Ni * N2

i j k Deto) = 9 —2 —8 —5 —7 —8

Det ( 1 ) = [(-2)(-8) — (-7)(-8)]i — [(9)(-8) — (-5)(-8)]j + [(9)(-7) — (-5)(-2)]k Det(;,) = —40 i + 112 j— 73 k V = (-40,112, —73) Luego de haber hallado el vector director f3, nos hace falta un punto comfin Q a ambos pianos. Para ello, escogemos un valor arbitrario a una variable y obtenemos las otras dos. Tomemos el valor x = 1, entonces hallaremos el valor de y y de z: IIII3EUITILIEUE(Aiti: 9x — 2y — 8z = 10

9(1) — 2y — 8z = 10 9 — 2y — 8z = 10 — 2y — 8z = 10-9 — 2y — 8z = 1 Ecuacion A IIII3EUITIESUKAIIt2: — 5x — 7y — 8z = 2 —5(1) — 7y — 8z = 2 — 5 — 7y — 8z = 2 — 7y — 8z = 2 + 5 — '7y — 8z = 7 Ecuacion B Tenemos entonces un sistema de ecuaciones de 2x2: —

2y — 8z = 1 Ecuacion A — '7y — 8z = 7 Ecuacion B Multiplicamos la Ecuacion A por -1 y se la sumamos a la Ecuacion B: 2y + 8z = —1 —7y — 8z = 7 —Sy

=6

Y=5 Sustituimos el valor de y en la Ecuacion A:

—6

— 2 (- 5 ) — 8z = 1 12

— — 8z = 1 5

12

8z = — — 1 5

7 8z = 5

z=

7 8*5

_ 7 z

4 0 Luego,elpuntocomfin Q a

ambospianoses:

Q

. (1,

7

40

)

Luego de hallar el vector director f3 y un punto de la recta buscada, hallamos la ecuacion recordando que si L es una recta que pasa por los puntos Q = (qi, q2, q3), entonces, la ecuacion vectorial de L es:

(x, y, z) = Q + (f3)t con t E 3? (x, y, z) = (1, —6 T , 7 473 + (-40,112, —73) t 7. Demuestre que el conjunto formado por los vectores de R2, constituyen un espacio vectorial. NOTA: muestre que cada uno de los axiomas se satisface

Solucion: Sea A un conjunto no vacio en el cual se han definido dos operaciones, llamadas suma y multiplicacion por escalar (dados los elementos u y v de A y un escalar A. de R, la suma de u y v la denotamos u + v y la multiplicacion por escalar de A. por u la denotamos Au). Si las siguientes propiedades o axiomas se satisfacen para todo u, v y w de A y para todo par de escalares a y fl de R, entonces se dice que A es un espacio vectorial real y sus elementos son llamados vectores.

Para la Suma: u + v Propiedad clausurativa u + v = v + u Propiedad conmutativa (u + v) + w = u + (v + w) Propiedad asociativa Existe un vector llamado vector cero, tal que u + 0 = 0 + u = u, para todo u

EA

Propiedad modulativa

Para cada u E A, existe un unico elemento — u E A, tal que u + (—u) = 0 Existencia del opuesto

Para la Multiplication:

au E A Propiedad Clausurativa

a(u + v) = au + av Propiedad distributiva respecto a la suma de vectores (a + fl)u = ua + ufl Propiedad distributiva respecto a la suma de escalares a(flu) = (af3)u Proiedad Pseudoasociativa 1u = u Propiedad Modular Comprobacion de los Axiomas. Sean los vectores u = (-1, 7) v = (5, —2) w = (-4, 8) a = —6 fl = 4 : 

u + v

u + v = (4, 5)

 u+v=v+u (4, 5) = (4, 5)

 (u+v)+w=u+(v+w) (4, 5) + (-4, 8) = (-1, 7) + (1, 6 ) (0, 13) = (0, 13) 

u+ 0 = 0 +u=u (-1, 7) + 0 = 0 + (-1, 7) = (-1, 7)

 u+(—u)= 0 (-1, 7) + (1, — 7) = 0 (0, 0, ) = 0

 au

au = (-6) * (-1, 7) au = (6, —42)

 a(u + v) = au + av

(-6) * (4, 5) = (-6) * (-1, 7) + (-6) * (5, —2) (-24, —30) = (6, —42) + (-30,12) (-24, —30) = (-24, —30)



(a + fl)u = ua + ufl

(-6+ 4)*(-1,7)=(-6)*(-1,7)+(-1,7)*(4) (-2) * (-1, 7) = (6, —42) + (-4, 28) (2, —14) = (2, —14)



a (gu) = (a fl)u

(-6) * ((4) * (-1, 7)) = (4 * (-6)) * (-1, 7) (-6) * (-4, 28) = (-24) * (-1, 7) (24, —168) = (24, —168) 

1u = u

(1) * (-1, 7) = (-1, 7) (-1,7) = (-1, 7)