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• Alvaro Gomez

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Ing. Eco. Marcial M. Guevara

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Apuntes de clase

CONCEPTO Una sumatoria es un símbolo que se ocupa para denotar en forma comprimida la suma sucesiva de los términos de una sucesión. El signo  corresponde a la letra mayúscula sigma, del alfabeto griego. Es equivalente a la letra S, de nuestro alfabeto.

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Para representar el índice de la suma, puede utilizarse cualquier otra letra j, l, k, … Ing. Eco. Marcial M. Guevara

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Apuntes de clase

PROPIEDADES

1. El valor de la sumatoria no depende del símbolo que se use como índice. n

n

ai = i=1

n

aj = j=1

ak k=1

2. 0≤p ≤n, c es una constante real que no depende del índice i. n

c = c(n − p + 1) i=p

Para el caso particular de:

n

1=n 3

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i=1 - Apuntes de clase

PROPIEDADES 3. Si c es una constante:

n

n

cai = c i=1

4.

n

ai i=1

n

(ai +bi ) = i=1

4

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ai + i=1

Apuntes de clase

n

bi i=1

PROPIEDADES 5. La suma del producto de 2 variables xi y yi : n

xi yi = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 + ⋯ + xn yn i=1

6. La suma del producto de una constante y una variable: n

n

axi = a i=1

5

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xi = a(x1 + x2 + x3 + ⋯ + xn ) i=1

-

Apuntes de clase

PROPIEDADES 7. La suma de una constante es igual a n veces la constante: n

a = a1 + a2 + a3 + ⋯ + an i=1

8. La suma del producto de 3 variables por sus correspondientes constantes: m

m

(axi + byi + czi = a i=1 6

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xi + b i=1

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Apuntes de clase

m

m

yi + c i=1

zi i=1

PROPIEDADES 9. Propiedad Telescópica: n

(ai+1 −ai ) = an+i − ap ; 0 ≤ p ≤ n i=p

También n

(ai −ai+1 ) = ap − an+1 ; 0 ≤ p ≤ n i=p 7

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Apuntes de clase

PROPIEDADES 10.

n

a)

n−r

ai = i=p

ai+r ; p − r ≥ 0 ; 0 ≤ p ≤ n i=p−r

n

n+r

b)

ai = i=p

11. Sea p ≤ n entonces:

ai−r ; 0 ≤ p ≤ n i=p+r

n

n

ai = i=p 8

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p−1

ai − i=1

Apuntes de clase

ai i=1

FÓRMULAS DE LA SUMATORIA n

1.

𝐶 =nC

2.

i=1

i=1

n

n

3. i=1

n

5. 9

n

i=1

𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1) 2 𝑖 = 6

3 + 9𝑛2 + 𝑛 − 1) 𝑛(𝑛 + 1)(6𝑛 𝑖4 = 30 Ing. Eco. Marcial M. Guevara

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Apuntes de clase

4. i=1

𝑛(𝑛 + 1) 𝑖= 2

2 (𝑛 + 1)2 𝑛 𝑖3 = 4

EJERCICIOS Cuál es el valor de: 5

𝑗 2 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 =

𝑎) 𝑗=1

8

𝑏)

(−1)𝑘 = (−1)4 +(−1)5 +(−1)6 +(−1)7 +(−1)8 = 𝑘=4

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Apuntes de clase

EJERCICIOS

Cuál es el valor de: 4

𝑐)

1= 𝑘=1 3

(2)𝑘 =

𝑑)

𝑘=0 9

(𝑗 + 2)𝑗 =

𝑒) 𝑗=5 8

𝑓) 11

𝑘(2𝑘 − 1) = 𝑘=4 Ing. Eco. Marcial M. Guevara

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Apuntes de clase

EJERCICIOS Cuál es el valor de: 3

𝑔)

(2𝑖 + 2) = 𝑖=1 8

ℎ) 𝑖=5

1 = 𝑖+3

4

𝑖)

2= 𝑗=1

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Apuntes de clase

EJERCICIOS Escribamos en forma de sumatoria, la suma de los n primeros términos de cada una de las expresiones siguientes: a) 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + · · · b) 1 x 11 + 2 x 12 + 3 x 13 + · · ·

c) 1 x 3 + 2 x 4 + 3 x 5 + · · · d) 1 x 3 + 2 x 5 + 3 x 7 + · · · e) 1 x 3 + 3 x 5 + 5 x 7 + · · · f) 9 + 11 + 13 + 15 + · · · 13

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Apuntes de clase

Ejemplos: Sea 𝑎1 = 3, …, 𝑎𝑛 = 6𝑛 − 3. Calcular: 6

𝑎𝑘−1 𝑎𝑘+1 = 𝑘=3

Sol. Notamos que la sumatoria consta de cuatro términos, así, 6

𝑎𝑘−1 𝑎𝑘+1 = 𝑎2 𝑎4 + 𝑎3 𝑎5 + 𝑎4 𝑎6 + 𝑎5 𝑎7 𝑘=3

= 9x21 + 15x27 + 21x33 + 27x39 = 2340 14

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Apuntes de clase

Ejemplos: Dado:

4

4

𝑥𝑗 = 7; 𝑗=1

4

𝑦𝑗 = −3; 𝑗=1

Hallar: 4

𝑎)

(𝑥𝑗 − 3)(2𝑦𝑗 + 1) = 𝑗=1 4

𝑏)

(2𝑥𝑗 + 5𝑦𝑗 ) = 𝑗=1

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Apuntes de clase

𝑥𝑗 𝑦𝑗 = 5 𝑗=1

Solución: 4

𝑎)

(𝑥𝑗 − 3)(2𝑦𝑗 + 1) = 𝑗=1

𝑥𝑗 2𝑦𝑗

-3 +1

4

=

(2 𝑦𝑗 𝑥𝑗 − 6𝑦𝑗 + 𝑥𝑗 − 3) 𝑗=1

4

=2

𝑦𝑗 𝑥𝑗 − 6 𝑗=1

16

4

4

𝑦𝑗 + 𝑗=1

4

𝑥𝑗 − 𝑗=1

= 2(5) – 6(-3) + 7 – 12 = 21

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Apuntes de clase

3 𝑗=1

Solución: 4

𝑏)

(2𝑥𝑗 + 5𝑦𝑗 ) = 𝑗=1

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Apuntes de clase

SUMATORIAS DOBLES Sea 𝑎𝑖𝑗 una sucesión tal que i, j ∈ N x N, así se definen: n

m

𝑎)

n

aij = i=1 j=1

(

m

aij ) =

i=1 j=1

n

Note que en

m

n

(

aij ); n, m ∈ N

j=1 i=1

m

(

aij ) , la sumatoria entre paréntesis suma sobre j

i=1 j=1

m

manteniendo i constante, análogamente para i y j la considera constante. 18

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Apuntes de clase

n

( j=1 i=1

aij ) , suma sobre

SUMATORIAS DOBLES b) Si es el caso que aij = bi cj , entonces:

n

m

n

m

aij = i=1 j=1

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bi cj = ( i=1 j=1

-

n

Apuntes de clase

m

bi )( i=1

cj ) j=1

SUMATORIAS DOBLES n

i

c) Ahora si se trata de

aij entonces: i=1 j=1

n

i

n

aij = i=1 j=1

i

(

aij )

i=1 j=1

Y en este caso la sumatoria indicada entre paréntesis es la que se debe efectuar necesariamente en primera instancia. 20

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Apuntes de clase

Ejemplos: Desarrollaremos y calcularemos: 3

2

𝑎)

1 ( + k) = j

𝑘=1 𝑗=1

2

𝑖

𝑏)

2ji = 𝑖=1 𝑗=1

21

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Apuntes de clase

Solución: 3

2

𝑎)

1 ( + k) = j

𝑘=1 𝑗=1

3

=

2

( 𝑘=1 𝑗=1 3

=

1 + j

2

k) 𝑗=1

1 1 ( + + 𝑘 ∗ 2) 1 2

𝑘=1 3

= 𝑘=1 22

3 +2 2

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3

𝑘=1

3 33 k) = ∗ 3 + 2 1 + 2 + 3 = 2 2

Apuntes de clase

Solución: 2

𝑖

𝑏)

1

2ji = 𝑖=1 𝑗=1

2

2j + 𝑗=1

4j = 2 ∗ 1 + 4 ∗ 1 + 4 ∗ 2 = 14 𝑗=1

Ó 2

𝑖

2

2ji = 𝑖=1 𝑗=1

𝑖

(2i 𝑖=1

2

j) = 𝑗=1

𝑖=1

1 2i i(i + 1) = 2

= 12 ∗ 2 + 22 ∗ 3 = 14

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Apuntes de clase

2

𝑖 2 (𝑖 + 1) 𝑖=1

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Apuntes de clase